Wann wurde zum ersten Mal in der Mathematik ein tiefgestellter Index verwendet, um einen Index darzustellen?

Wenn ich in Mathsym schaue , finde ich:

$\bullet \;$Gebrauch von$\;{}^1a,\;{}^2a,\;{}^3a$in Laplace, 1772.
Histoire de l'Académie royale des sciences , p. 294
Es hat sich nicht durchgesetzt.

$\bullet \;$Dann Cauchy, 1815, mit Indizes.
Œuvres complètes d'Augustin Cauchy, Serie 2, Band 1 , p. 130

Da ist eine interessante Passage drin

Dodgson, Charles Lutwidge. Eine elementare Abhandlung über Determinanten: Mit ihrer Anwendung auf simultane lineare Gleichungen und algebraische Geometrie . Vol. 13. Macmillan und Company, 1867:

Neue Wörter und Symbole sind immer eine äußerst unwillkommene Ergänzung für eine Wissenschaft, besonders für eine, die bereits mit einem enormen Vokabular belastet ist, aber ich denke, die ihnen gegebenen Definitionen werden ihre Einführung rechtfertigen, da sie der einzige Weg sind, langweilige Umschreibungen zu vermeiden. Die Symbole, die zur Darstellung der einzelnen Elemente einer Determinante verwendet werden, bedürfen vielleicht eines Wortes der Entschuldigung, und es mag gut sein, die bereits verwendeten aufzuzählen und auf ihre scheinbar hauptsächlichen Mängel hinzuweisen. Wir können mit beginnen

, wobei die Änderung des Buchstabens eine Änderung der Spalte und die Änderung des Indexes eine Änderung der Zeile anzeigt. Da nun die Eigenschaften von Determinanten, die sich auf Spalten beziehen, immer in Eigenschaften bezüglich Zeilen und umgekehrt umwandelbar sind, war es ein ausreichender Einwand gegen dieses Notationssystem, dass es Dinge deutlich analog durch so unterschiedliche Methoden darstellte, und es wurde ordnungsgemäß ersetzt durch die von Leibnitz eingeführte Notation,

, sowohl der Spalte als auch der Zeile, werden gleichermaßen durch Indizes bezeichnet. Aber es scheint ein verhängnisvoller Einwand gegen dieses System zu sein, dass der größte Teil des Platzes von einer Anzahl von a's eingenommen wird, die völlig überflüssig sind, während der einzig wichtige Teil der Notation auf winzige tiefgestellte Zeichen reduziert wird, was sowohl für den Schreiber als auch für den Leser schwierig ist. Es war fast eine offensichtliche Verbesserung dieses Systems, die Indizes in die Linie zu heben und die a's ganz wegzulassen, wie von Baltzer vorgeschlagen, also -

, und dieses System, obwohl mühsam zum Schreiben, könnte sehr gute Dienste leisten, wenn es nicht mit der in der ebenen algebraischen Geometrie üblichen Notation verwechselt werden könnte, durch die$(1,1)$bezeichnet den Punkt$x=1,\ y=1$. Das Symbol

, die ich als Verbesserung zu diesem letzteren vorzuschlagen gewagt habe, wird gefunden werden, ich habe große Hoffnungen, ausreichend einfach, deutlich und leicht zu schreiben. Ich habe das Symbol nach links gedreht, um Verwechslungen auszuschließen$\int$, das Symbol für Integration.

Bearbeiten

Der Hinweis auf die versteckte Mathematik in Alice im Wunderland ist fällig, da ich dort von diesem veröffentlichten Mathematikbuch erfahren habe.

Laut diesem Artikel verwendete Frege es 1879:

Obwohl Sie vielleicht auch an diesem Artikel interessiert sind, der besagt, dass Georg Cantor Tiefstellungen in seiner Notation für Kardinalzahlen verwendet hat und er 1845 geboren wurde.

Obwohl dies nur meine Meinung ist, vermute ich, dass sie aufgrund der Verwendung von Symbolen zur Variation von Buchstaben in vielen Sprachen und Variationen von Zeichen in früheren Kulturen viel älter sind, aber ich kann keine Quelle dafür finden.

Hermann Grassmann verwendete in seiner Lineale Ausdehnungslehre von 1844 Indizes. Beispielsweise stellt er auf Seite 71 ein System von auf$n$lineare Gleichungen in$n$Unbekannte im Formular

Cajoris History of Mathematical Notations , das Sie erwähnen, beschreibt auch die Verwendung von Indizes für Terme von Taylor-Reihen von William Emerson in Method of Increments (1763), die im Abschnitt „Notation“ auf Seite 2 vorgestellt werden.

Tatsächlich können Sie dies in Google Books: The Method of Increments sehen .

Die obigen Kommentare konzentrierten sich auf die sequentielle Notation, die bei der Matrixbewertung verwendet wird, oder insbesondere auf die Erweiterung von Determinanten. Es gibt einen Faden, der die kollektive Geschichte der Verwendung von Indizes nachzuzeichnen scheint, aber Schlüsselaspekte in Bezug auf Datumsangaben scheinen schwer fassbar zu sein. Aus gutem Grund: Der Zugang zu Originalmaterialien ist rar. Dennoch können wir aus den Schriften anderer einige Informationen über die Umstände und frühesten Daten entnehmen, als Tiefstellungen zum ersten Mal verwendet wurden. Wann genau wurde der Index zum ersten Mal als Index verwendet?

Aus den obigen Kommentaren erwähnt g.kov den Kommentar von Dodgson, in dem Leibnitz als derjenige erwähnt wird, der die Notation eingeführt hat, die wir derzeit verwenden. Dodgson gibt jedoch kein Datum an, um festzustellen, wann Leibnitz diese Notation eingeführt hat. Einen wertvollen Hinweis gibt dennoch Paul H. Hanus in An Elementary Treatise on the Theory of Determinants, veröffentlicht 1886 von Ginn and Company, Boston. Hanus erwähnt in Kapitel 1, Vorläufige Begriffe und Definitionen, Artikel 1, Entdeckung von Determinanten, Folgendes:

In einem Brief vom 28. April 1693 teilt Leibnitz L'Hospital seine Entdeckung mit; und später, in einem anderen Brief, drückt er die Überzeugung aus, dass die Funktionen bemerkenswerte und sehr wichtige Eigenschaften entwickeln werden – eine Überzeugung, die die Zeit reichlich bestätigt hat. Leibnitz hat das Thema jedoch nie selbst weiterverfolgt, und seine Entdeckung lag bis zur Mitte des 18. Jahrhunderts im Dornröschenschlaf.

Hanus fährt fort, dass Gabriel Cramer im Jahr 1750 Determinanten wiederentdeckte, als er an der Analyse von Kurven arbeitete, wobei Cramer lineare Gleichungssysteme lösen musste und natürlich auf die gleichen Funktionen stieß, die die Aufmerksamkeit von Leibnitz erregt hatten. Hanus stellt ferner in Kapitel 1, Artikel 2 bis 7, Determinanten, die durch Eliminieren der Unbekannten aus einem System simultaner Gleichungen erzeugt werden, fest , dass die Notation Laplace zuzuschreiben ist, nämlich:

... die Terme, in denen die Indizes in ihrer natürlichen Reihenfolge vorkommen, sind positiv, während bei den negativen Termen eine Umkehrung der natürlichen Reihenfolge in den Indizes vorliegt ... Es wurde vereinbart, sie in Anlehnung an Laplace durch das Schreiben von zu bezeichnen Buchstaben in regelmäßiger Folge, die sich jeweils mit den Indizes der Reihe nach auswirken und den gesamten Ausdruck in Klammern einschließen, also

Dies ist natürlich eine Determinante zweiter Ordnung, deren erster Teil, ausgedrückt in gebräuchlicher oder moderner Notation, als erscheinen würde

Dieses allgemeine Ergebnis ist als Laplace-Expansion bekannt, wie in CR Wylie, Jr., Advanced Engineering Mathematics, Second Edition, McGraw-Hill Book Company, Inc., New York, 1960, erwähnt.