Warum drehen sich die Dinge?

Ich beginne mit dem Beispiel für gesperrte Massen im Weltraum (Nr. 3), da dies das einfachste ist. Betrachten wir auch anstelle einer kontinuierlichen Kraft einer Rakete diskrete Impulse, als ob die Stange von einem Hammer getroffen würde. Um das Drehmoment zu ignorieren, müssen wir uns ansehen, was das Stangenmaterial tatsächlich tut, um die Kraft auf die Massen zu übertragen.

Wir haben also zwei Massen,$M$Und$2M$an gegenüberliegenden Enden einer Stange. Stellen Sie sich vor, wir klopfen mit dem Hammer auf die Mitte der Stange. Dadurch entsteht an der Aufprallstelle eine kurzzeitige Verformung. Diese Verformung bewirkt, dass sich ein Wellenimpuls (genauer gesagt eine Spannungswelle) in beide Richtungen entlang der Stange vom Aufprallpunkt weg ausbreitet. Siehe unten für eine Illustration:

Bild von: https://www.acs.psu.edu/drussell/Demos/Membrane-vs-String/Membrane-vs-String.html

Was passiert nun, wenn diese Impulse die Massen erreichen? Sie werden gleiche Kräfte auf die Massen ausüben, da die Wellen identisch sind. Die größeren Massen werden also langsamer beschleunigen und hinter der leichteren Masse zurückbleiben. Die Stange ist steif, ändert also ihre Länge nicht, was bedeutet, dass sie sich drehen muss, damit die größere Masse zurückbleibt.

Wird nun der Stab näher an der größeren Masse getroffen, erreicht der Wellenimpuls aufgrund der kürzeren Distanz zuerst die größere Masse. Die größere Masse hat also einen Vorsprung, um sich vorwärts zu bewegen, bevor die kleinere Masse aufgrund ihrer größeren Beschleunigung aufholt. Hier muss eine ganze Analyse in Bezug auf reflektierte Wellen (siehe Bild unten) und deren Zeitpunkt durchgeführt werden, um Newtons drittes Gesetz zum Funktionieren zu bringen und zu zeigen, dass der richtige Punkt, der für keine Drehung getroffen werden muss, derselbe ist wie der, der aus Drehmomentgleichungen abgeleitet wird .

Von hier: https://en.wikipedia.org/wiki/Wave_equation#Stress_pulse_in_a_bar

Eine kontinuierliche Kraft kann man sich als unendliche Summe unendlich kleiner diskreter Impulse vorstellen. Mit anderen Worten, eine extrem schnelle Folge sehr kleiner Schläge, die sich zu einer bestimmten Kraft summieren. Stellen Sie sich also in Fall Nr. 2 mit der Wandhalterung und Fall Nr. 3 mit der einzelnen Rakete eine schnelle Reihe winziger Schläge vor und wir erhalten dasselbe Ergebnis wie mit dem Hammer.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass das Drehmoment eine Abstraktion ist, die es uns ermöglicht, all diese inneren Kräfte in der Stange zu ignorieren, da sie nach Newtons drittem Gesetz immer paarweise auftreten und den Linear- oder Drehimpuls nicht beeinflussen.

Im Fall Nr. 1, in dem die Sperrmassenanordnung aus einem Flugzeug fallen gelassen wird (unter der Annahme, dass kein Luftwiderstand besteht), dreht sich die Stangenanordnung nicht, da die Schwerkraft an beiden Massen proportional zu ihren Massen zieht, sodass sie die gleiche Beschleunigung haben.

In dem Moment, in dem Sie einen Drehpunkt einführen, müssen Sie die Reaktionskraft des Drehpunkts berücksichtigen - nicht nur das Gewicht der Kisten oder den Schub der Raketen.

Die aufgebrachten Kräfte, die in beiden Fällen auf die Kästen wirken, entsprechen einer Kraft, die auf die COM der gesamten Baugruppe aufgebracht wird.

Wenn also der Drehpunkt mit dem COM ausgerichtet ist, kann die Reaktionskraft die aufgebrachte Kraft vollständig aufheben und die Beschleunigung verhindern.

Wenn dies nicht der Fall wäre, würde eine (ungehinderte) Nettokraft auf die COM ausgeübt werden, und daher müsste die Anordnung beschleunigen, dh müsste beginnen, sich zu bewegen. Da es sich jedoch nicht einfach vorwärts (translational) bewegen kann und den Drehpunkt ignoriert, beginnt es sich mit dem Drehpunkt als Rotationszentrum zu drehen.

Allgemein können wir sagen, dass ein Körper beginnt sich zu drehen, wenn einer seiner Punkte (oder mehrere Punkte, die auf derselben Linie liegen) fixiert ist und eine Kraft auf den Körper wirkt, die nicht durch diesen Punkt geht oder diese Linie.

Im Fall Nr. 3 ist die Situation genau das Gegenteil von dem, was Ihnen Ihre Intuition sagt! Auf die kleinere Masse muss doppelt so viel Kraft ausgeübt werden wie auf die größere Masse, damit sich der Stab nicht dreht. Dies ist leicht aus einem Drehmomentargument ersichtlich, da der Schwerpunkt näher an der größeren Box liegt.

Beachten Sie intuitiv, dass im Raum der Drehpunkt, um den sich der Balken dreht, sein Massenmittelpunkt ist. Da die kleinere Masse weiter vom Massenmittelpunkt entfernt ist, überstreicht sie beim Drehen einen Bogen mit dem doppelten Radius wie die größere Masse, sodass das leichtere Ende doppelt so schnell beschleunigen muss, um eine Drehung zu verhindern. Die tatsächliche Masse beider Enden ist irrelevant, da das Verbundsystem so wirkt, als ob es ein einzelnes Objekt wäre, das durch die Starrheit des Stabes eingeschränkt wäre.

Sie können dieses konzeptionelle Bild verallgemeinern, um zu verstehen, was passiert, wenn Sie Kräfte mit einem beliebigen Drehpunkt auf die Massen anwenden. Denken Sie darüber nach, wie viel Beschleunigung Sie benötigen, um der natürlichen Tendenz einer Seite zum Drehen entgegenzuwirken, wenn Sie eine unausgeglichene Kraft auf die andere anwenden.

Für das, was es wert ist, empfehle ich Ihnen dringend, sich mit der Gültigkeit des Drehmoment- / Drehimpulsansatzes abzufinden. Wenn Sie die Ableitungen solcher Konzepte vollständig verstehen, können sie genauso intuitiv sein wie jede andere Erklärung und oft Probleme erheblich vereinfachen, sodass Sie viel kompliziertere Phänomene verstehen können! Diese Ideen sind in der Tat genauso grundlegend wie F = ma und sollten nicht dahingehend abgewertet werden, dass sie nur das Wie und nicht das Warum erklären, ebensowenig wie die Newtonschen Gesetze.