Warum entsprechen nicht-hermitesche Operatoren mit allen reellen Eigenwerten nicht Observablen? [Duplikat]

Angenommen, Sie könnten einen Operator konstruieren, der nicht hermitesch ist, aber alle reellen Eigenwerte hat oder zumindest so eingeschränkt werden könnte, dass er nur reelle Eigenwerte erzeugt, warum würde dieser Operator keiner beobachtbaren Größe entsprechen?

Solche Dinge gibt es. Schauen Sie sich PT Symmetric Quantum Mechanics an: arxiv.org/pdf/quant-ph/0501052v1.pdf
Kann es auch ein mögliches Duplikat für einen nicht-hermitischen Operator mit echten Eigenwerten sein?

Antworten (2)

Nach der Messung möchten Sie, dass die Eigenräume orthogonal sind (und dass die Projektion auf den Eigenraum mit einem Zustand des Messgeräts verschränkt wird).

Sie möchten also, dass die verschiedenen Eigenräume orthogonal sind. Und Sie möchten in der Lage sein, sich zu einem Zustand nach der Messung zu entwickeln, der die richtigen Arten von Zuständen hat. Es geht also wirklich um die Arten von Endzuständen, zu denen Sie sich entwickeln können. Das ist es also, was Sie wollen. Lassen Sie uns darüber sprechen, warum Ihr Vorschlag Ihnen das nicht bringt.

Nur weil die Eigenvektoren reell sind, heißt das nicht, dass Eigenvektoren mit unterschiedlichen Eigenwerten orthogonal sind.

Die orthogonale Zerlegung ist das erste Wesentliche, was Sie wollen. Die Anforderung, dass die Eigenwerte real sein müssen, ist nicht so wichtig, Sie möchten vielleicht sogar den Zerfall (schlecht) mit einer komplexen Energie modellieren. Aber Sie möchten immer noch, dass die verschiedenen Eigenräume orthogonal sind.

Und Sie wollen mehr als das. Sie möchten wirklich, dass die Eigenvektoren einen maximalen orthonormalen Satz enthalten, und für einen maximalen Satz von Pendeloperatoren erhalten Sie einen eindeutigen solchen Satz, den Satz gegenseitiger Eigenvektoren.

Und nachdem Sie das haben, können Sie zum Beispiel endlich die Wahrscheinlichkeitstheorie zur Sprache bringen (und einen Musterraum erstellen und so weiter).

Jetzt gibt es einen ganzen Zweig der Physik (mit Tausenden von Artikeln), der auf den von Ihnen erwähnten Operatoren basiert. Aber wenn es an der Zeit ist, Wahrscheinlichkeiten zu berechnen und Erwartungswerte zu berechnen, ändern sie ... die Geometrie ... und machen die Eigenräume in der neuen Geometrie orthogonal, wodurch die Operatoren genau zu den normalen Operatoren werden (Wortspiel nicht beabsichtigt).

Wenn Sie also nicht-hermitesche Operatoren berücksichtigen, gewinnen Sie am Ende nichts. Um den Wahrscheinlichkeitsteil zu erhalten, wählen Sie eine Geometrie, bei der die Observablen sowieso hermitesch sind, sodass Sie einfach mit dieser Geometrie und den hermiteschen Operatoren daran arbeiten könnten. Nun, es macht es nicht unbedingt falsch, wenn Sie die richtigen Antworten erhalten und wenn es auf eine bestimmte Weise rechnerisch einfacher oder auf andere Weise nett ist, dann ist es gut für Sie. Aber die Nichtorthogonalität der Eigenvektoren ist ein Problem.

Und da ich hermitische und nicht-hermitische Operatoren erwähnt habe, denke ich, dass es ein guter Zeitpunkt ist, darauf hinzuweisen, dass Sie dies tun könnten, wenn Sie nach einer Geometrie suchen, um die Eigenvektoren orthogonal zu machen, weil Sie eher einen selbstadjungierten Operator anstreben als nur auf einen hermiteschen Operator abzielen. Vor allem an dieser Front wollte ich nur, dass Sie wissen, dass beide da draußen sind. Und echte Eigenwerte zu haben, wird Ihnen auch nichts bringen, wenn die Eigenvektoren nicht orthogonal sind.

Ich habe kein Papier gesehen, das besagt, dass jeder selbstadjungierte Operator eine experimentelle Realisierung hat. Es könnte also einfacher sein, zu katalogisieren, wie Dinge nicht funktionieren, als zu glauben, dass jeder nette Bediener gemessen werden kann.

Es gibt selbstadjungierte Operatoren ohne Eigenvektoren oder mit Eigenvektoren, die keine orthonormale Basis bilden. Und nicht in einer obskuren mathematischen Umgebung, es reicht aus, ein Teilchen in einem nicht einschließenden Potential (z. B. einem Stufenpotential, a Sünde Potenzial, kein Potenzial, ...). Selbstadjungiertheit ist eine notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung, um eine orthonormale Basis von Eigenvektoren zu haben. Andererseits ist die Selbstadjungiertheit des Hamiltonoperators ausreichend für die Existenz und Eindeutigkeit der einheitlichen Dynamik.
Oder allgemeiner, die Selbstadjungiertheit des Generators reicht aus, um eine einheitliche Darstellung der Symmetriegruppe zu haben. Daher ist Ihre Antwort, die impliziert, dass die Selbstadjunganz ausreicht, um orthonormale Basen von Eigenvektoren zu erhalten, höchst ungenau. Leider ist die allgemeine QM in unendlich dimensionalen Räumen angesiedelt und dort sind lineare Operatoren keine Matrizen. Darüber hinaus bezieht sich das sogenannte kontinuierliche Spektrum (dasjenige, in dem es keine Eigenvektoren gibt) auf die Existenz ungebundener Zustände, während das diskrete Spektrum gebundenen Zuständen zugeordnet ist. Und das ist in der Physik ganz wichtig.
Wie ich oft erlebt habe, sind Sie immer bereit, Antworten anderer zu kritisieren. Aber Sie sollten sich zuerst um die Qualität Ihrer eigenen Antworten kümmern.
@yuggib Ich entschuldige mich, wenn mein Beitrag unklar war. Ich habe versucht zu sagen, dass Sie sich vielleicht für einen orthogonalen Eigenvektor entscheiden, weil Sie eher auf Selbstadjunktion als auf Hermitian abzielen. Ich habe nicht gesagt, dass das ausreicht. Ich habe bearbeitet. Und ich habe nie gesagt, dass dies eine gute Antwort war. Der erste Absatz ist die Antwort und er ist ziemlich dürftig, der Rest war nur Kritik und der Versuch, auf die Literatur und frühere Arbeiten hinzuweisen. Ich vermutete, dass die Frage bereits früher gestellt wurde, und den ersten Absatz zu konkretisieren, wäre der beste Weg, um darauf zu antworten. Knapp zu sein bedeutete, dass jemand anderes seine eigene Antwort erweitern konnte.
@yuggib Es ist immer noch eine schlechte Antwort, auch nachdem ich bearbeitet habe, um Ihre Fehlinterpretationen dessen zu vermeiden, was ich meinte. Wenn ich Zeit habe, werde ich versuchen, es zu bearbeiten, um es besser zu machen. Und Kommentare darüber, wie man bessere Antworten für das Zitat geben kann, sind immer willkommen. Wenn Sie mir nicht zustimmen, dass wir eine orthogonale Basis von Eigenvektoren wollen, müssen Sie mir sagen, warum (oder eine eigene Frage schreiben), und wenn Sie Vorschläge zu meiner Antwort haben, müssen Sie sie geben (I Ich habe die Erwähnung von selbstadjungiert bereits bearbeitet, um sie klarer zu machen, da es unklar gewesen sein muss, ob Sie es falsch verstanden haben, wie Sie es getan haben).
Ich stimme zu, dass wir gerne eine orthogonale Basis von Eigenvektoren hätten; aber es gibt konkrete Situationen, in denen es nicht einmal für selbstadjungierte Operatoren möglich ist. Meiner Meinung nach (aber das ist nur meine Meinung) ist Selbstadjungiertheit relevanter, weil sie mit der Einheitlichkeit der Dynamik zusammenhängt. Wie auch immer, ich glaube nicht, dass es einen vollständigen Konsens darüber gibt.

1) Wenn alle Eigenwerte eines Operators reell sind, dann ist er hermitesch. Sie können dies sehen, indem Sie den Operator (nennen Sie ihn A) in die Eigenvektorbasis schreiben. Dann hat A entlang seiner Diagonalen alle reellen Eigenwerte und überall sonst Nullen. Deshalb, A † = A was bedeutet, dass es hermitesch ist.

2) Viele der Operatoren, die wir „Observables“ nennen, sind die Generatoren von Transformationen. Zum Beispiel: J (Drehimpuls) ist der Generator von Rotationen e ich θ J , P ist der Generator von Übersetzungen e ich X P , und H ist der Generator der Zeitübersetzung e ich T H . Wenn diese Transformationen einheitlich sein sollen, um die Wahrscheinlichkeit zu erhalten, muss der Generator hermitesch sein. Einheitlich bedeutet zum Beispiel (wobei θ , X , T sind real):

( e ich X P ) † e ich X P = ICH
e − ich X P † e ich X P = ICH
− P † + P = 0

daher ist P hermitesch.

Außerdem muss der Operator orthonormal diagonal sein.
Diese Antwort ist falsch, warum stimmen die Leute ab?
Um Javiers Kommentar klarer zu machen: Aus den Gründen in Timaeus 'Antwort ändern Sie die Basis nur durch orthonormale Transformationen. Aber nicht jeder Operator mit reellen Eigenwerten kann durch eine solche Transformation diagonalisiert werden. Daher ist Ihre erste Aussage falsch; reelle Eigenwerte sind eine notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung der Selbstadjungiertheit. Verwenden Sie die Matrix ( 2 3 4 5 ) als einfaches Beispiel: es hat reelle Eigenwerte, ist aber nicht hermitesch.
Ja, meine Antwort war falsch. Wie aufmerksamere Beobachter darauf hinweisen, reichen reelle Eigenwerte allein nicht aus, um den Operator hermitesch zu machen. Die Eigenvektoren des Operators müssen außerdem orthogonal zueinander sein. Dies wurde von mir unbewusst angenommen, als ich die Eigenwerte auf die Diagonale setzte und annahm, dass alle anderen Elemente Null waren.
Tatsächlich habe ich in Teil 2 meiner Antwort wieder angenommen, dass der Operator P in der zweiten Gleichung diagonalisierbar ist [ P † , P ] = 0 und ich könnte sie in denselben Exponenten schieben.
Warum entsprechen nicht-hermitesche Operatoren mit allen reellen Eigenwerten nicht Observablen? [Duplikat]
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