Warum fehlt fortgeschrittene Strahlung?

Die kurze Antwort: Es fehlt nicht, es fehlt nur klassisch, und dann auch nur für bestimmte Anfangsbedingungen.

Dies ist das alte (und heute gelöste) Rätsel des elektromagnetischen Zeitpfeils, das Anfang des 20. Jahrhunderts Gegenstand einer Abhandlung mit drei Meinungen war, in der Einstein die richtige Meinung äußerte und zwei andere Personen andere Meinungen äußerten. Ich erinnere mich nicht an das Papier (oder die anderen Autoren), ich erinnere mich nur an Einsteins Position.

Auflösung des klassischen Advanced-Wave-Paradoxons

Das Paradoxon mit fortgeschrittenen Wellen ist einfach ein thermodynamisches Problem. Das zentrale Konsistenzproblem beim klassischen Elektromagnetismus besteht darin, dass es kein thermisches Gleichgewicht gibt – Sie können sich nicht wirklich vorstellen, wie ein Gleichgewichtszustand des Feldes aussieht. Es ist ein statistisches Feld mit einer Wahrscheinlichkeit für E und B, die durch die Exponentialfunktion der Feldenergie gegeben ist. Bei jeder endlichen Temperatur hat dieses thermische Gleichgewichtsensemble unendliche Energie, das hat es$kT$in jeder unabhängigen Feldmode insgesamt eine unendliche Energiedichte. Das ist die UV-Katastrophe.

Wenn Sie sich das klassische Vakuum des Elektromagnetismus ansehen, kein Feld, dieser Zustand ist aus thermodynamischen Gründen völlig lächerlich - er kann beliebig große Mengen an Entropie absorbieren, sogar Entropie pro Volumeneinheit, ohne Probleme und geht einmal auf Null zurück es schiebt die Entropie in winzige Wellenlängenmoden um. Dies bedeutet, dass das System einer mechanischen Ladung, die mit einem Feld wechselwirkt, thermodynamisch nicht sinnvoll ist, die gesamte Entropie geht in das Feld.

In der klassischen Theorie gibt es also einen Zeitpfeil, der einfach durch die Richtung definiert ist, in der die Feldentropie unaufhaltsam zunimmt, während sich das Feld zu den kleinsten Wellenlängen windet. Der Grund, warum wir verzögerte Wellen verwenden, liegt darin, dass, wenn wir ein System von strahlenden Ladungen betrachten, die vom fortgeschrittenen Propagator beschriebene Situation unmöglich vorstellbar ist: Das klassische Feld wird in einer Verschwörung aufgebaut, nur um konvergierende Wellen auf jedem strahlenden Körper zu haben in der Vergangenheit. Der Grund, warum es unmöglich ist, sich das vorzustellen, liegt genau darin, dass die Situation thermodynamisch so unwahrscheinlich ist.

Die Energieparadoxien, die Sie bemerken, sind nicht real. Sowohl die fortgeschrittene als auch die verzögerte Welle tragen positive Energie, die verzögerte Welle führt sie aus und die fortgeschrittene Welle trägt sie hinein. Die Strahlungsdämpfung für eine klassische geladene Kugel erfolgt, wenn die verzögerte Welle, die von einem Teil der Kugel emittiert wird, auf einen anderen Teil wirkt der Ball, und dies geschieht zu einem leicht falschen Zeitpunkt, wenn der Ball beschleunigt, was zu Reibung führt. Wenn Sie nur fortgeschrittene Wellen haben, verwandelt sich die Reibung in Anti-Reibung und Sie beschleunigen den Ball. Der Ball absorbiert die einfallende Strahlung und geht schneller.

Aber Sie können die zeitlich nach vorne verzögerte Emission immer als Summe aus vorgezogener Emission und konspirativem Anfangszustand betrachten. Wenn Sie sich eine normale Situation mit einem geladenen Ball vorstellen, der auf einer Feder zittert und verzögerte EM-Wellen in die Zukunft aussendet, und Sie möchten dies mit fortgeschrittenen Wellen beschreiben, dann sendet der zitternde Ball EM-Wellen in die Vergangenheit aus. Aber das ist nicht die physikalische Anfangsbedingung – die Bedingung ist, dass Sie keine ankommende Strahlung haben, also müssen Sie zusätzliche Wellen in den Anfangsbedingungen einrichten, die alle in der Vergangenheit emittierten fortgeschrittenen Wellen genau aufheben. Diese zusätzlichen Wellen heben genau das elektromagnetische Feld auf, das von dem Teilchen in die Vergangenheit emittiert wird, wodurch das Feld in der Vergangenheit von Null Unendlich zu Null wird, und erzeugen die normale fortgeschrittene Welle des Teilchens, die in die Zukunft von Null Unendlich geht, und wenn Sie die beiden Felder überlagern,

Sie können also jede der Formen verwenden, um die klassische Theorie zu machen, aber jede andere Wahl als die reine zukunftsgerichtete Welle ist klassisch lächerlich, weil sie eine unendlich unwahrscheinliche Verschwörung in den Anfangsbedingungen erfordert. Unendlich unwahrscheinlich, weil klassische Felder nicht gut mit Thermodynamik spielen.

Die grundlegende mathematische Identität, die dies demonstriert, ist, dass die Differenz der fortgeschrittenen und verzögerten Wellenlösung eine Lösung der quellenfreien Maxwell-Gleichungen ist.

$$G_F = G_R - G_A$$

Es steht Ihnen also frei, beides zu verwenden$G_R$oder$G_A$als Antwort einer Quelle, da die Differenz zwischen ihnen eine Freifeldlösung ist und durch geeignete Freifeld-Anfangsbedingungen hinzugefügt und reproduziert werden kann.

Ich sollte hier darauf hinweisen, dass es bei singulären Feldern, wenn Sie das verteilte thermische Gleichgewicht des klassischen elektromagnetischen Feldes als Anfangsbedingung zulassen, klassischerweise keine Rolle spielt, ob Sie fortgeschrittene oder verzögerte Wellen verwenden. Die Verteilungsfelder würden Energie in gleichen Mengen ein- und ausbringen, wenn sich die geladene Kugel nahe am thermischen Gleichgewicht befindet. Es ist nur so, dass thermisch ausgeglichene elektromagnetische Felder verteilt sind.

Ich sollte auch sagen, dass Feynman und Wheeler klassischerweise vorgeschlagen haben, die G-Funktion für die Emission einer Teilchenquelle zu symmetrisieren, indem sie halb fortgeschrittene, halb verzögerte Wellen verwenden. Für geladene Kugeln mit glatter Ladungsdichte ist dies gleichbedeutend mit vollständig verzögert (oder vollständig fortgeschritten), jeder Propagator ist so gut wie jeder andere, aber aus irgendeinem Grund gefiel ihm die zeitsymmetrische Formulierung. Der einzige Grund, warum sie dies getan haben, ist der Versuch, die Theorie der Punktgrenze des klassischen Elektromagnetismus zu verbessern, und diese Punktgrenze ist einfach nicht konsistent.

Als Nebenbemerkung ist dieses Punktladungslimitproblem in GR vollständig behoben, indem Lösungen für geladene Schwarze Löcher verwendet werden. Die geladenen Schwarzen Löcher sind keine Punkte, und sie strahlen und absorbieren klassischerweise frei von Paradoxon in Bezug auf die Größe Null, was mit GR nicht vereinbar ist. Aber das Schwarze Loch bleibt gravitativ zusammen.

Die Quantenmechanik hat diesen Pfeil nicht

Die volle Auflösung des elektromagnetischen Zeitpfeils kommt in der Quantentheorie. Hier können Sie einen vernünftigen thermischen Gleichgewichtszustand mit endlicher Energie für das EM-Feld haben, und in einem solchen Zustand wird ein Teilchen mit der gleichen Temperatur wie das Feld, das mit dem Feld interagiert, nicht mehr emittieren oder absorbieren. Der elektromagnetische Zeitpfeil ist also eindeutig derselbe wie der thermodynamische Zeitpfeil. Die Emission und Absorption von Photonen trägt keinen elektromagnetischen Zeitpfeil.

Der Feynman-Propagator für das quantenelektromagnetische Feld in der Feynman-Eichweite ist (im realen Raum) proportional zu

$${ig_{\mu\nu}\over (t^2 - x^2 +i\epsilon)}$$

Zu beachten ist, dass Sie in der klassischen Grenze das Ding über alle möglichen Zeiten integrieren und das Ergebnis für lange Ausbreitungsentfernungen auf den Lichtkegel konzentriert ist. Sie können die Delta-Funktionen auf dem Lichtkegel aus der Tatsache des Cauchy-Theorems berechnen

$$\delta(x) = {1\over 2\pi i} ({1\over x+i\epsilon} - {1\over x-i\epsilon})$$

und Sie können sehen, dass der Propagator einen Pol hat$t=\pm|x|$was Delta-Funktionsbeiträge zum zukünftigen und vergangenen Lichtkegel liefert. Dies ist wie eine halb fortgeschrittene halb verzögerte Quantenlösung, aber sie wird durch die Wick-Rotation bestimmt, die die Zeit leicht imaginär macht.

$$G_F \propto g_{\mu\nu}( \delta(t^2 - x^2) + P.V {i\over (t^2 -x^2)}$$

und der PV-Teil ist eine imaginäre Lösung der freien Maxwell-Gleichungen, während der Delta-Funktionsteil ein halb verzögerter, halb fortgeschrittener Quellpropagator ist.

Die retardierte Leonard-Weichert-Form wird aus dem Delta-Funktionsteil des Feynman-Propagators wiederhergestellt, wenn Sie den Teil betrachten, der in die Zukunft geht (mal zwei), und den Teil ignorieren, der in die Vergangenheit geht (dieser muss durch classic Nullfeld-Anfangsbedingungen, und diese Freifeldlösung verdoppelt dann den verzögerten Teil). Der zusätzliche Imaginärteil ist außerhalb des Lichtkegels nicht Null und in Feynmans Beschreibung für die Coulomb-Kraft verantwortlich.

Zu verstehen, dass dies den Elektromagnetismus in der klassischen Grenze reproduziert, erforderte das Aussortieren des elektromagnetischen Propagator-Geschäfts, das in allen Arbeiten zur Quantenfeldtheorie nach Feynmans implizit enthalten ist.