Warum führt klassisches Licht immer zu Super-Poissonschen Statistiken?

Es ist ein bekanntes Ergebnis, dass klassisches Licht (womit ich hier Mischungen aus kohärenten Zuständen meine) keine sub-Poissonsche Photonenzählstatistik erzeugen kann , wobei ein einzelner Strahl kohärenten Lichts einer Poissonschen Photonenzählstatistik entspricht (wie diskutiert zum Beispiel hier ) und andere Arten von Nicht- Quantenlicht, die der Super-Poissonschen Statistik entsprechen .

Ich habe diese Tatsache jedoch nie formal bewiesen gesehen. Normalerweise zeigen Texte, wie einige gängige Arten von klassischem Licht, wie thermisches Licht , zu super-poissonschen Statistiken führen und wie Quantenzustände sub-poissonsche Statistiken erzeugen können, aber sie gehen nicht auf den allgemeinen Fall ein.

Betrachten Sie insbesondere einen Zustand, der eine Mischung aus kohärenten Zuständen ist. Dies entspricht einer Photonenzählwahrscheinlichkeit P ( N ) des Formulars

P ( N ) = ∑ λ P λ P λ ( N ) ,
mit ∑ λ P λ = 1 , Und P λ ( N ) die Poisson-Verteilung mit Erwartungswert ist λ :
P λ ( N ) ≡ e − λ λ N N ! .
Eine Super-Poisson-Verteilung zeichnet sich dadurch aus, dass die Varianz größer als der Erwartungswert ist, d. h. σ 2 ≥ μ . Genauer gesagt bedeutet dies im betrachteten Fall
∑ N ( N − μ ) 2 P ( N ) ≥ μ , μ ≡ ∑ N N P ( N ) .
Lässt sich diese Eigenschaft ganz allgemein darstellen, ohne auf bestimmte Lichtarten Bezug zu nehmen?

> „womit ich hier Mischungen von kohärenten Zuständen meine“ Dies ist eine ziemlich wichtige Klarstellung des Begriffs „klassisches Licht“. Ich denke, in der rein klassischen EM-Theorie kann man für einzelne klassische elektromagnetische Wellen, die von Molekülen erzeugt werden, eine sub-Poissonsche Statistik erhalten, da Reflexion und Übertragung einer polarisierten Welle an einem Strahlteiler antikorreliert sind.
@JánLalinský Ich bin mir nicht sicher, ob ich verstehe, was du sagst. Es ist hier irgendwie der Punkt, dass kohärente Staaten keine sub-Poissonschen Statistiken erstellen können. Wenn das vom Molekül erzeugte Licht kein kohärenter Zustand ist (ich weiß nicht, ob das passieren kann oder nicht), dann ist es in Ordnung, dass es sub-Poissonsche Statistiken erzeugen kann. Haben Sie eine Referenz, um Ihren Standpunkt besser zu verstehen?
Mein Punkt ist, dass Sie nur dann die Unmöglichkeit einer sub-Poissonschen Statistik für „klassisches Licht“ erhalten, wenn Sie mit „klassischem Licht“ das durch das Konzept der kohärenten Zustände definierte Ding meinen. In der rein klassischen Theorie ist klassisches Licht etwas anderes und es ist alles andere als klar, dass man die Unmöglichkeit der sub-Poissonschen Statistik erhält. Aber ich denke, Sie verstehen diese Unterscheidung, wollte nur anmerken, dass sie in der Tat wichtig ist.

Antworten (1)

Lassen Sie uns die ersten Momente von berechnen P ( N ) :

μ ≡ ∑ N N P ( N ) = ∑ N N ∑ λ P λ P λ ( N ) = ∑ λ P λ λ ,
wobei ich die Eigenschaft der Poisson-Verteilung verwendet habe ∑ N N P λ ( N ) = λ . Ebenso haben wir
∑ N N 2 P ( N ) = ∑ λ P λ λ ( λ + 1 ) ,
wo ich verwendet habe ∑ N N 2 P λ ( N ) = λ ( λ + 1 ) .

Die Varianz σ 2 der Verteilung lautet somit

σ 2 ≡ ∑ N ( N − μ ) 2 P ( N ) = ∑ λ P λ λ ( λ + 1 ) − μ 2 ,
und schließlich die Differenz zwischen Varianz und Erwartungswert, σ 2 − μ , Ist
(1) σ 2 − μ = ∑ λ P λ λ ( λ + 1 ) − μ ( μ + 1 ) .
Definieren F ( λ ) ≡ λ ( λ + 1 ) , (1) kann geschrieben werden als
σ 2 − μ = ∑ λ P λ F ( λ ) − F ( ∑ λ P λ λ ⏟ μ ) .
Der Abschluss σ 2 − μ ≥ 0 folgt nun aus F konvex zu sein, zusammen mit Jensens Ungleichung .

Dies beweist, dass eine beliebige Mischung (konvexe Kombination) von Poisson-Operatoren eine zufriedenstellende Super-Poisson-Verteilung ergibt σ 2 ≥ μ .

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