Warum hängen der klassische Elektronenradius, der Bohr-Radius und die Compton-Wellenlänge eines Elektrons zusammen?

Es ist nicht verwunderlich, dass beide$r_e$Und$a_0$sind Vielfache der Compton-Wellenlänge: Zwei beliebige positive Längen sind Vielfache voneinander. Es stimmt zwar, dass hinter dieser einfachen Aussage mehr steckt, aber die wesentliche Tatsache ist, dass, da diese drei Längen einfach und aus denselben Grundzutaten zusammengesetzt sind, nur sehr wenig Spielraum für Unterschiede besteht.

Schauen wir uns diese Mengen an:

Beachten Sie, dass sie alle umgekehrt proportional zur Elektronenruhemasse sind, allerdings aus unterschiedlichen Gründen: Schwerere Elektronen würden stärkere Photonen erfordern, um sie abzulenken; sie haben eine höhere Ruhemasse und würden eine kompaktere kugelförmige Ladung benötigen, um sie anzupassen; und eine höhere$m$effektiv reduziert$\hbar$in der Wasserstoff-Schrödinger-Gleichung, was es schwieriger macht, zum Quantenregime zu gelangen.

Vorausgesetzt, Sie haben drei Längen, die durch die drei Konstanten bestimmt werden$\hbar$,$c$Und$e$. Das sind genug Konstanten, um drei verschiedene Längen zu erzeugen, aber sie sind so wenige, dass jeder Quotient eine Funktion der einzigartigen dimensionslosen Kombination dieser Konstanten sein muss - der Feinstrukturkonstante,

Diese Konstante ist jedoch besonders wichtig. Sie ist das natürliche Maß für die Stärke elektromagnetischer Wechselwirkungen: Sie gibt als reine Zahl die elektromagnetische Kopplung an$e^2$zwischen zwei Einheitsladungen, in natürlichen relativistischen Einheiten, wo$\hbar=c=1$. Obwohl die von Ihnen erwähnten Beziehungen algebraisch notwendig sind, bedeutet dies nicht, dass sie keinen physikalischen Inhalt haben:

• $r_e=\alpha \lambda_C/2\pi$sagt, dass für eine stärker wechselwirkende QED ein lockerer gebundenes kugelförmiges Elektron ausreichen würde, um der Ruhemassenenergie zu entsprechen.
• $a_0=\frac 1\alpha \lambda_C/2\pi$sagt, dass für eine stärker wechselwirkende QED das Proton sein Wasserstoffelektron in engeren Bahnen halten würde.

Beide werden in der Tat am natürlichsten in Bezug auf die Compton-Wellenlänge ausgedrückt, da sie die charakteristische quantenrelativistische Längenskala des Elektrons ist und nicht von einer bestimmten physikalischen Wechselwirkung abhängt, während die anderen beiden dies tun - und daher erhalten werden die erste über die Stärke dieser Interaktion.

Die drei Längen, die Sie in Betracht ziehen, werden alle nur unter Verwendung von gebaut$e$,$m_e$und die Fundamentalkonstanten. Wenn Sie sich die Definitionen ansehen, können Sie feststellen, dass sie alle die Form haben$\frac{something}{m_e}$.

Es ist dann klar, dass Sie eine Länge aus den anderen erhalten können, indem Sie einfach mit einem Faktor von multiplizieren$e$und fundamentale Konstanten; Da alle Größen Längen sind, muss der Faktor dimensionslos sein: Er muss eine Potenz von sein$\alpha$, mal eine Zahl.

Der$2\pi$Faktoren kommen von der Tatsache, dass$\lambda_C$beinhaltet$h$und die Anderen$\hbar$.

Warum tut$r_e = α \frac{λ}{2π} = α^2 a_0 = \frac{α^3}{4πR_∞}$? Es ist kein Appell an Numerologie oder „Natürlichkeit“ erforderlich.

0) Definitionen

Schalten Sie zunächst auf die "reduzierte" oder "eckige" Compton-Wellenlänge um :

Definieren Sie in ähnlicher Weise die "reduzierte" Rydberg-Wellenlänge als$R_∞$hat Dimensionen der linearen Wellenzahl :

Die Gleichheit lautet nun:

Erinnern Sie sich zuletzt an die Feinstrukturkonstante $α$ist definiert als Verhältnis von

1. der Abstand zwischen zwei beliebigen Einheitsladungen zu

2. die reduzierte Wellenlänge eines Photons, dessen Energie gleich der potentiellen Energie der Ladungen ist

1)$r_e$vs$ƛ_e$

• Der klassische Elektronenradius $r_e$ist der Abstand zwischen zwei Einheitsladungen , so dass ihre potentielle Energie gleich der Ruheenergie des Elektrons ist ,$V(r_e)=m_e c^2$.

• Die reduzierte Compton-Wellenlänge des Elektrons $ƛ_e$ist die reduzierte Wellenlänge eines Photons gleich der Ruheenergie des Elektrons ,$ℏc/ƛ_e=m_e c^2$.

So$V(r_e) = ℏc/ƛ_e$. Ihr Verhältnis ist definiert als

2)$a_0$vs$ƛ_∞$

• Die Rydberg-Energie ist die Hälfte der potentiellen Energie zweier Einheitsladungen, die durch einen Bohr-Radius getrennt sind $a_0$. (Nur die Hälfte, weil$hcR_∞$wurde als die Ionisationsenergie definiert, die nach dem Virialsatz die Hälfte des Potentials ist.)

So$V(a_0)=2ℏc/ƛ_∞$. Ihr Verhältnis ist definiert als

3)$ƛ_e$vs$a_0$

Nicht so klar.$ƛ_e$entspricht keiner bekannten Ladungstrennung für die$a_0$könnte die reduzierte Wellenlänge des Photons sein. Das Bohr-Modell leitet sich ab$a_0$durch zufällig unsolide Methoden, bietet hier aber keine Hilfe an. Verwenden Sie stattdessen QM. Griffiths (4.53) gibt die radiale Schrödinger-Gleichung für Wasserstoff an

Räumen Sie zuerst auf, indem Sie die gesamte (negative) Energie als Winkelwellenzahl ausdrücken $κ=ƛ^{-1}$eines freien Elektrons (4.54),

Umstellung auf Elektroneneinheiten ($r = \hat{r} ƛ_e$,$κ = \hat{κ} / ƛ_e$,$u(r) = u(ƛ_e \hat{r})$),

und Sammeln von Termen für die Masse-Energie des Elektrons ($E_e = m_e c^2 = ℏ c / ƛ_e$),

Jetzt einstellen$l=0$und wenden den Virialsatz (4.190, 4.191,$2⟨T⟩=⟨\vec r · \vec ∇ V⟩=⟨-V⟩=-2 E$) zu bekommen

dann den kinetischen Term subtrahieren, dividieren durch$-E_e$, von Wellenzahl zu Wellenlänge wechseln (zur Verdeutlichung) und ohne Verlust der Verallgemeinerung lassen$⟨\frac{1}{\hat r}⟩ = \frac{1}{\hat r}$,

Diese könnten im Prinzip jeden beliebigen Wert annehmen, aber die Lösung (4.68) erfordert dies$ƛ=\hat r$im niedrigsten Eigenzustand. Daher$\hat r = 1/α$(allgemein$ƛ=n/Zα$,$r=n^2/Z^2α$).

Über die Compton-Wellenlänge$\lambda_c$und der klassische Elektronenradius$r_e$, können Sie auf diese Weise synthetisieren:

Die zweite Gleichheit stellt die Energie des Elektrons dar, die der potentiellen Energie entspricht, die es im klassischen elektrischen Potential einer Punktladung (z. B. eines anderen Elektrons) erfahren würde. Das ergibt den klassischen Elektronenradius, den ich als typischen Bereich für die Elektron-Elektron-Wechselwirkung interpretieren würde.

Also das Verhältnis zw$\lambda_c$Und$r_e$Ist$\alpha$weil es ein Maß für die Stärke der elektrostatischen Wechselwirkung ist.

Nun bin ich mir über den Teil des Bohr-Radius nicht sicher. Dies ist nicht so direkt, weil es die Quantisierung des Drehimpulses beinhaltet.

Die Feinstrukturkonstante hat ihren Namen nicht zufällig erhalten. Es repräsentiert die Naturbausteingröße für die „Struktur der Materie“. So wie wir das Gramm in einigen kleinen Arbeiten und das Kilogramm in anderen verwenden, während eine Tonne für eine dritte benötigt wird und so weiter, so geschieht dasselbe in der subatomaren Welt. Der Bohr-Radius stellt das Atom dar und ist (ungefähr) 137-mal so groß wie der Compton-Radius, der sich ergibt, wenn man die magnetischen Eigenschaften des Elektrons zusammen mit der Rotationsgeschwindigkeit im Atom betrachtet, und dieser wiederum ist 137-mal so groß wie der klassische Radius was mit der Ladung und Energie des Elektrons zu tun hat. Für QM-Geistige ist der Bohr-Radius der Zeitpunkt, an dem Quanteneffekte einsetzen, Der Compton-Radius ist, wenn das Wellenverhalten des Elektrons offensichtlich wird, während der klassische Radius ist, wenn eine Renormierung erforderlich ist – das heißt, wenn Sie eine Kante erreichen und den Punkt, an dem Energieintegrale zu divergieren beginnen. Um den klassischen Elektronenradius re= e^2/4πε0 mc^2 zu erhalten, wobei e,m die Ladung und Masse des Elektrons sind, nehmen Sie ein Elektron in Ruhe im Labor und ein weiteres im Unendlichen mit maximaler Geschwindigkeit c (oder sehr nahe dazu). Das Elektron verliert seine gesamte Bewegungs- / kinetische Energie an Abstoßung, wenn es das statische Elektron erreicht. Dieser Radius stellt also die kleinste Entfernung dar, die zwei Elektronen zusammenbringen können, da c eine Geschwindigkeitsgrenze darstellt. Für den Compton-Radius(Compton-Wellenlänge/2π) rc=h/2πmc, Betrachten Sie zwei Photonen und ein Elektron in Paarproduktion oder betrachten Sie alternativ das magnetische Moment, das von einer rotierenden Ladung abgeleitet wird, um den magnetischen Dipol des Elektrons zu erzeugen. Für den Bohr-Radius rb = h^2 ε0 /π me^2; Nehmen Sie die Zentrifugalkraft gleich der statischen elektrischen Anziehungskraft im Atom. Das Verhältnis zweier der obigen Zahlen ist die Feinstrukturkonstante α=e^2/ε0 hc; und bemerkenswert ist, dass diese Zahl dimensionslos ist und die drei Elektronenradien in unabhängigen Prozessen erhalten werden und dass dieses Verhältnis exakt ist! ... dh unabhängig von experimentellen Werten.