Warum hängt die Umlaufzeit nicht von der kleinen Halbachse ab?

Question

Warum hängt die Umlaufzeit nicht von der kleinen Halbachse ab?

Jonas

Im Dritten Gesetz von Kepler wird die Umlaufzeit durch beschrieben

T = 2 π \sqrt{\frac{A^{3}}{μ}}

$T=2\pi\sqrt \frac{a^3}{\mu}$

Wo $a$ ist die Länge der großen Halbachse. Ich frage mich, warum die Länge der kleinen Halbachse die Umlaufzeit nicht beeinflusst?

In diesem Bild haben wir eine große Halbachse ( $a$ ) mit Länge $2$ , während die kleine Halbachse $b$ hat die länge $1$ . Der Umfang einer Ellipse lässt sich vereinfachen zu

U = π \times \sqrt{2 \times (A^{2} + B^{2})}

$U=\pi \times \sqrt {2 \times (a^2 + b^2)}$

Für unsere Ellipse ist dies ungefähr $9.935$ .

Strecken wir die große Halbachse zu $1.8$ , bringen wir eine Ellipse näher an einen Kreis:

Diese Ellipse hat einen Umfang von ca $11.955$ die deutlich länger ist als der Umfang der Ellipse.

Warum ist also die Umlaufbahn für, sagen wir, einen Planeten, der einen Stern umkreist, immer noch gleich, unabhängig von der Länge der kleinen Halbachse?

Hirnschlagpatient

Die Geschwindigkeit ist an verschiedenen Punkten der Umlaufbahn unterschiedlich.

Antworten (1)

Warum hängt die Umlaufzeit nicht von der kleinen Halbachse ab?

Die Geschwindigkeit ist an verschiedenen Punkten der Umlaufbahn unterschiedlich.

Pablo Lemo · Answer 1

Obwohl der von Ihnen gezeigte Ausdruck für das dritte Kepler-Gesetz der gebräuchlichste ist, können Sie die Tatsache verwenden, dass $b = a\sqrt{1-e^2}$ , und damit lautet das Kepler-Gesetz

T = 2 π \sqrt{\frac{B^{3}}{μ (1 - e^{2})^{3 / 2}}}

$T = 2\pi \sqrt{\frac{b^3}{\mu (1-e^2)^{3/2}}}$ und Sie könnten Ihre Frage ändern in "Warum hängt es nicht von der großen Halbachse ab?"

Ich denke, der entscheidende Punkt ist auch die Verwendung des zweiten Kepler-Gesetzes. Die Geschwindigkeit entlang der Umlaufbahn ist nicht konstant, der Körper ist langsamer, wenn er weiter vom zentralen Körper entfernt ist, und dies führt dazu, dass die Energie erhalten bleibt. Es kann gezeigt werden, dass die Gesamtbahnenergie nur von der großen Halbachse abhängt:

\frac{E}{M} = ϵ = - \frac{μ}{2 A}

$\frac{E}{m}=\epsilon=-\frac{\mu}{2a}$ Und damit ist die Periode

T = \sqrt{- \frac{π^{2} μ^{2}}{4 ϵ^{3}}}

$T = \sqrt{-\frac{\pi^2 \mu^2}{4\epsilon^3}}$ Die Tatsache, dass die Periode für zwei Umlaufbahnen mit derselben großen Halbachse, aber unterschiedlicher Exzentrizität gleich ist, ergibt sich aus der Tatsache, dass ihre Energien gleich sind.

Warum hängt die Umlaufzeit nicht von der kleinen Halbachse ab?

Jonas

Hirnschlagpatient

Antworten (1)

Pablo Lemo

Was ist die Kurve, die die Tageslinie in einer Weltkarte für Tag und Nacht beschreibt?

Fermi-Mechanismus zweiter Ordnung. Gibt es einen Fehler im Buch von Claus Grupen?

Wissen wir genau, wie schnell wir relativ zum Zentrum der Galaxie fahren?

Anfängliche vs. konstante Orbitalgeschwindigkeit

Gibt es eine Grenze dafür, wie schnell ein Schwarzes Loch wachsen kann?

Analogie zwischen Magnetflasche und Van Allens Strahlungsgürtel

Drehimpuls und Sternensystem im Raum mit vier räumlichen Dimensionen

Wie lange dauert es, bis ein Objekt von einem Stern erfasst wird, der in die Mitte fällt?

Problem: Spektroskopie eines binären Systems

Benötigen Sie Beratung zum Modell der dünnen Akkretionsscheibe