Warum hat das Plancksche Gesetz für Schwarzkörperstrahlung diese glockenförmige Form?

Joshua hat mich zu einer Antwort geschlagen, aber ich werde dies trotzdem posten, da es auf einer einfacheren Ebene geschrieben ist.

Der Grund, warum Sie ein Maximum erhalten, weil es zwei Effekte gibt, die einander entgegengesetzt sind. Die Anzahl der Moden pro Frequenzeinheit steigt mit dem Quadrat der Frequenz, so dass, solange die Energie der Moden weit unter kT liegt, die Energie proportional zum Quadrat der Frequenz ist. Deshalb steigt das Schwarzkörperspektrum zunächst etwa mit dem Quadrat der Frequenz an.

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Mode angeregt wird, nimmt jedoch exponentiell ab, sobald die Energie der Mode größer als kT ist, sodass die emittierte Strahlung gegen unendlich geht, wenn die Frequenz gegen unendlich geht.

Das Ergebnis der beiden Effekte ist, dass die Emission zuerst ansteigt und dann wieder abfällt, weshalb es in der Mitte ein Maximum gibt.

Die Planck-Verteilung ist allgemeiner zu interpretieren: Sie gibt die statistische Verteilung von nicht konservierten Bosonen (zB Photonen, Phononen etc.) an. Dh es ist die Bose-Einstein-Verteilung ohne chemisches Potential.

Beachten Sie in diesem Sinne, dass im Allgemeinen im thermischen Gleichgewicht ohne Teilchenzahlerhaltung die Anzahl der Teilchen$n(E)$Staaten mit Energie besetzen$E$ist proportional zu einem Boltzmann-Faktor. Um genau zu sein:

Das klassische Ergebnis für$n(E)$oder gleichwertig$n(\lambda)$divergiert trotz der exponentiellen Abnahme des Boltzmann-Faktors, weil$g(E)$wird unrealistisch, wenn die Quantisierung der Energieniveaus nicht berücksichtigt wird. Das ist die sogenannte UV-Katastrophe .

Bei der Energie von zB Photonen wird davon ausgegangen, dass sie damit quantisiert ist$E = h\nu$die Entartung$g(E)$übertrifft den Boltzmann-Faktor nicht$e^{-\beta E}$Und$n(E) \longrightarrow 0$als$E \longrightarrow \infty$, so wie es sollte. Dieses Ergebnis ist natürlich auf Planck zurückzuführen, daher der Name der Verteilung. Es ist einfach, dies explizit für Photonen in einem geschlossenen Kasten oder mit periodischen Randbedingungen zu berechnen (zB siehe Thermal Physics von Kittel).

Ich hoffe, das war nicht zu technisch. Zusammenfassend besteht das grundlegende Problem der klassischen Theorie darin, dass die Anzahl der zugänglichen Zustände bei hohen Energien (kurzen Wellenlängen) unrealistisch groß ist, da die Energieniveaus eines "klassischen Photons" nicht quantisiert sind. Ohne diese Quantisierung wird die Divergenz von$n(E)$(gleichbedeutend von$n(\lambda)$) würde implizieren, dass die Energiedichte einer Photonenbox im thermischen Gleichgewicht unendlich ist. Das ist natürlich unsinnig.