Wie ändert man das Plancksche Gesetz von Frequenz zu Wellenlänge? [Duplikat]

Vielleicht differenzieren Sie nichts, aber Sie sollten. Die Funktionen$B(T)$Drücken Sie die Energiedichte pro Einheitsintervall von Frequenzen – oder Einheitsintervall von Wellenlängen aus. Aber die Breite der Einheitsintervalle ist nicht gleich.

Insbesondere die Gesamtenergie in einem Intervall$(\nu,\nu+d\nu)$Ist

$$E(\nu,\nu+d\nu) = B_\nu(T)\cdot d\nu \sim \frac{\nu^3}{c^2} \cdot d\nu$$ Das bedeutet die Formel für die Dichte pro Frequenzeinheit. Wenn Sie es in die Sprache der Wellenlänge übersetzen wollen, müssen Sie sich dessen bewusst sein $$\nu = \frac{c}{\lambda}$$ und daher (die Zeile unten erhält man einfach durch Ableitung) $$d\nu = -\frac{c}{\lambda^2} \cdot d\lambda$$ Das Minuszeichen sollte ignoriert werden, da es nur bedeutet, dass die Graphen von links nach rechts gespiegelt werden sollen. Dies jedoch $d\nu$kann in die erste Gleichung eingesetzt werden, um zu erhalten $$E(\nu,\nu+d\nu)\sim \left(\frac{c}{\lambda}\right)^3\cdot \frac{1}{c^2} \cdot \frac{c}{\lambda^2}\cdot d\lambda \sim \frac{c^2}{\lambda^5}d\lambda$$ was Ihnen die richtige Abhängigkeit gibt $\lambda$Und $c$, nämlich $c^2/\lambda^5$. Alle anderen Faktoren sind gleich und der numerische Vorfaktor ändert sich nicht. Beachten Sie, dass ich diese Energie im Intervall nennen kann $E(\lambda,\lambda+d\lambda)$weil ich im gesamten Text davon ausgegangen bin, dass es sich physikalisch um dasselbe Intervall handelt, nur entweder über parametriert $\nu$oder von $\lambda$.