Wiens Verschiebungsgesetz im Frequenzbereich [Duplikat]

Als ich versuchte, das Wiensche Verschiebungsgesetz abzuleiten, verwendete ich das Plancksche Gesetz für Schwarzkörperstrahlung:

ICH v = 8 π v 2 C 3 H v e H v / k B T − 1

Maximum verlangen:

D ICH v D v = 0 :   0 = ∂ ∂ v ( v 3 e H v / k B T − 1 ) = 3 v 2 ( e H v / k B T − 1 ) − v 3 H / k B T ⋅ e H v / k B T ( e H v / k B T − 1 ) 2

Daraus folgt, dass der Zähler sein muss 0 und suchen v > 0 :

3 ( e H v / k B T − 1 ) − H v / k B T ⋅ e H v / k B T = 0

Auflösen für γ = H v / k B T :

3 ( e γ − 1 ) − γ e γ = 0 → γ = 2.824

Jetzt schaue ich mir den Wellenlängenbereich an:

λ = C / v :   λ = H C γ k B 1 T

sondern aus dem Wienschen Gesetz λ T = B Das erwarte ich H C / γ k B ist gleich B was nicht ist:

H C γ k B = 0,005099 , Wo B = 0,002897

Warum entspricht die Ableitung aus dem Frequenzbereich nicht dem Maximum im Wellenlängenbereich?

Ich habe versucht, es mit der Kettenregel zu rechtfertigen:

D ICH D λ = D ICH D v D v D λ = C v 2 D ICH D v

wo ich das sehe C / v 2 beeinflusst nicht wo D ICH λ / D λ ist Null.

das geht auf die Definitionen von Frequenz, Wellenlänge und Temperatur zurück; und so funktioniert es. Schauen Sie sich die letzten Absätze des Wienschen Gesetzes auf Wikipedia an, wo sie einen Kompromiss für die kombinierte Frequenz-Wellenlängen-Korrelation eingehen, indem sie 4 aus 3 und 5 als Mittelwert auswählen. Und das kann analog zu Nah- und Fernfeldern sein. [IMO + Wikipedia]
Nachdem ich in [ physics.stackexchange.com/q/13611 ] gelesen hatte, wie das Plancksche Gesetz für die Wellenlänge abgeleitet wird, wurde es klar :)

Antworten (1)

Nun, Janis, es ist nicht genau klar, was du wissen willst.

Wiens Verdrängungsgesetz sagt das einfach λ max ⋅ T ist eine Konstante. Das gilt für die Form der Planckschen Strahlungsformel, die die spektrale Strahlungsleistung in Watt, pro Quadratmeter, pro "Wellenlängenintervall" angibt; wobei das Wellenlängenintervall Meter von Nanometern oder Mikrometern oder jedes andere nützliche Wellenlängeninkrement sein könnte; als Funktion der WELLENLÄNGE. Am gebräuchlichsten ist vielleicht pro Mikrometer.

Jetzt seit F λ = C , dann könnte man das einfach so sagen C T F max ist eine Konstante, wo F max ist die entsprechende Frequenz λ max .

ABER das ist normalerweise nicht gemeint.

Einige Benutzer, die lieber an Schwarzkörperstrahlung im Frequenzbereich denken, möchten eine Darstellung als Funktion der Frequenz oder Wellenzahl und nicht eine Darstellung über der Wellenlänge. Dies ist vernünftig, da die Photonenenergie einfach ist H v .

ABER wenn die spektrale Strahlungsemission gegen die Frequenz aufgetragen wird, sind die Einheiten der vertikalen Achse unterschiedlich. Die Einheiten sind Watt, pro Quadratmeter, pro Wellenzahlinkrement oder pro Frequenzinkrement und NICHT pro Wellenlängeninkrement.

Dadurch tritt der spektrale Peak je nach Auftragung an einer anderen Stelle auf.

Beispielsweise beträgt die spektrale Spitze für Schwarzkörperstrahlung bei der angenommenen mittleren Oberflächentemperatur der Erde (288 K) 10,1 Mikrometer, wenn die Auftragung auf einer Wellenlängenskala erfolgt. Die entsprechende Kurve, die auf Frequenzbasis und Emittanz pro Wellenzahl aufgetragen ist, hat Spitzen bei einer völlig anderen Wellenlänge. Ich verwende das Frequenz- oder Wellenzahlformular selbst nicht, daher erinnere ich mich nie an eine dieser Zahlen, aber Sie können solche Daten leicht im Internet oder in Lehrbüchern finden.

Aber der Schlüssel ist, dass ein Diagramm die Strahlungsemission pro Wellenlängeninkrement und das andere die Strahlungsemission pro Frequenzinkrement ist.

Und dann wird es natürlich sein F max T das ist eine Konstante für das Wiensche Verschiebungsgesetz.

Wiens Verschiebungsgesetz im Frequenzbereich [Duplikat]
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