Das Merkwürdige am Maximum im Planckschen Gesetz

Ich werde versuchen, die Frage Punkt für Punkt zu beantworten.

Also haben wir$E(\omega)$die bei einer bestimmten Frequenz abgestrahlte Energie.

Eigentlich nein, wir haben eine Energie pro Frequenzeinheit. Es ist wie eine Dichte. Für eine Massendichte$\rho$Sie haben eine Masse pro Volumeneinheit, und die Dichte kann von Ort zu Ort variieren. Um also die Gesamtmasse zu erhalten, teilen Sie den Raum in eine Reihe kleiner Volumina auf, von denen jedes eine konstante Dichte innerhalb einer gewissen Toleranz hat, dann nehmen Sie das Dichte und dieses Volumen und multipliziere sie miteinander, um die Masse dieses Stücks zu erhalten, und addiere alle Stücke, oder$m=\iiint\rho dx dy dz$. Ebenso hast du Energie$U$und Energiedichte$u$. Aber es gibt sie in mehreren Arten, Sie können eine Energie pro Wellenlängeneinheit haben$u_\lambda$oder eine Energie pro Frequenzeinheit$u_\nu$, und diese beiden unterschiedlichen Energiedichten (pro Wellenlänge und pro Frequenz) haben nicht einmal die gleichen Einheiten. Für eine Energie pro Wellenlänge$u_\lambda$, Sie nehmen alle möglichen Wellenlängen, zerhacken das Intervall in Stücke, von denen jedes die Dichte hat$u_\lambda$ändert nicht viel und multipliziert die Dichte$u_\lambda$durch das Wellenlängenintervall in den Stücken$\Delta \lambda$bekommen$u_\lambda \Delta \lambda$die Gesamtenergie$dU$in diesem Stück, dann addierst du das für jedes Stück des Gesamtintervalls, um die Gesamtenergie zu erhalten:

In ähnlicher Weise nehmen Sie für die Frequenz den gesamten Frequenzbereich$(0,\infty)$, hacken Sie das Intervall in Stücke, von denen jedes die Dichte$u_\nu$ändert nicht viel und multipliziert die Dichte$u_\nu$durch das Intervall der Frequenzen im Stück$\Delta \nu$bekommen$u_\nu \Delta \nu$die Gesamtenergie in diesem Stück, dann addierst du das für jedes Stück$dU$des Gesamtintervalls, um die Gesamtenergie zu erhalten:

Sie könnten dies sogar umgekehrt tun. Nimm das Intervall aller Frequenzen und zerlege es in Stücke, dann nimm für jedes Stück die Gesamtenergie in diesem Stück$dU$, und teilen Sie es durch die Größe des Stücks$\Delta \nu$bekommen$dU/\Delta\nu$, und bemerke das wann$\Delta \nu$klein genug ist, der Quotient$dU/\Delta \nu$ändert sich nicht mehr ($dU$wird auch kleiner, wenn man einen kleineren Frequenzbereich betrachtet). Dieser Quotient ist die Energiedichte$u_\nu$.

Wenn Sie dies tun, sehen Sie, dass für jedes Stück des gesamten Intervalls eine echte Menge an Energie im Intervall vorhanden ist.$dU$, und dass es eine echte niedrigere Frequenz (hohe Wellenlänge) und eine echte höhere Frequenz (niedrige Wellenlänge) gibt und alles, was Sie denken, in Ordnung ist. Der einzige Unterschied besteht darin, dass sich die Länge des Wellenlängenintervalls von der Länge des Frequenzintervalls unterscheidet.

Wenn Sie zum Beispiel von 1 Hz auf 2 Hz in der Frequenz gegangen sind, dann$\Delta \nu=$2Hz-1Hz=1Hz, also bekommst du$u_\nu = dU/\Delta \nu=dU/$1Hz. Für genau dasselbe Frequenzintervall gibt es ein Wellenlängenintervall, das denselben Teil der Gesamtheit abdeckt. Seit$\lambda \nu=c$(Ihre Gleichung war um einen Faktor von falsch$2\pi$da Sie Winkelfrequenz verwendet haben), haben wir eine niedrigere Wellenlänge von$c/2Hz$und eine obere Wellenlänge von$c/1Hz$, das sind Wellenlängen und haben Wellenlängeneinheiten, und in diesem Fall geht es um$1.5\times10^8 m$. Das Gleiche$dU$wird durch 1Hz geteilt, um zu bekommen$u_\nu$sondern wird geteilt durch$1.5\times10^8 m$bekommen$u_\lambda$, scheint keine große Sache zu sein. Was wäre jedoch, wenn Ihr Frequenzbereich aus wäre$2 Hz$zu$3 Hz$, dann gibt es eine neue$dU$für diesen Bereich. Und die$\Delta \nu$ist wieder$3Hz-2Hz=1Hz$, aber die$\Delta \lambda$gleich$c/2Hz-c/3Hz$worum es geht$5\times10^7 m$. Also genau das gleiche bisschen Energie$dU$wird durch einen kleineren Bereich von Wellenlängen geteilt, also für das exakt gleiche Intervall physikalischer Wellen$u_\lambda$ist größer als$u_\nu$(größer als für ein etwas anderes Intervall, das im Frequenzraum genauso lang war). Die beteiligte Energie$dU$ist immer genau gleich, und die abgeschnittenen Wellenlängen gehorchen$\lambda \nu = c$, aber die$\Delta \lambda$und die$\Delta \nu$sind von Intervall zu Intervall verschieden. Die Dichten sind also unterschiedlich, da die Dichte das Verhältnis von ist$dU$die wahre Energie zu$\Delta \lambda$(oder$\Delta \nu$) für Energie pro Wellenlänge (bzw. Energie pro Frequenz).

Nun hat diese Funktion irgendwo ein Maximum, also gibt es eine Frequenz, bei der eine maximale Energiemenge abgegeben wird.

Die Funktion ist nicht Energie bei einer Frequenz, es ist die Energie$dU$geteilt durch die Länge$\Delta \nu$des betreffenden Frequenzintervalls. Es ist nicht die Energie. Es ist maximal wann$dU$wird größer als alle anderen$dU$für gleich große Intervalle$\Delta \nu$. Stellen Sie sich vor, Sie nehmen ein sehr sehr kleines Intervall$\Delta \nu$, und verschieben Sie es an verschiedene Orte (aber bei gleicher Größe), bis Sie einen Ort finden, an dem$dU$denn dieses Intervall ist am größten. Das bedeutet es, wenn eine Dichte maximal ist. Das ist die Frequenz, bei der ein Fenster von Frequenzen mit fester Frequenzspreizung die meiste Energie liefert. Und diese Fenster mit fester Frequenz breiten sich aus (z. B. 1 Hz oder ein MHz oder eins$\mu$Hz) haben keine feste Wellenlängenstreuung, wenn Sie sie an verschiedene Orte verschieben, also hat es nichts damit zu tun, wo die Dichte pro Wellenlänge maximal ist.

Zu finden wo$u_\lambda$maximal ist, beachten Sie, dass dies die Energie ist$dU$geteilt durch die Länge$\Delta \lambda$des betreffenden Frequenzintervalls. Es ist nicht die Energie. Es ist maximal wann$dU$wird größer als alle anderen$dU$für gleich große Intervalle$\Delta \lambda$. Stellen Sie sich vor, Sie nehmen ein sehr sehr kleines Intervall$\Delta \lambda$, und verschieben Sie es an verschiedene Orte (aber bei gleicher Größe), bis Sie einen Ort finden, an dem$dU$denn dieses Intervall ist am größten. Das bedeutet es, wenn eine Dichte maximal ist. Das ist die Wellenlänge, bei der ein Fenster von Wellenlängen mit fester Wellenlängenspreizung die meiste Energie liefert. Und diese Fenster mit fester Wellenlängenstreuung (sagen wir 1 mm oder ein m oder ein km) haben keine feste Frequenzstreuung, wenn Sie sie an verschiedene Orte verschieben, also hat es nichts damit zu tun, wo die Dichte pro Frequenz maximal ist.

Mit anderen Worten: Wenn Sie die Summe der Energien der Photonen bei jeder Frequenz, die emittiert werden, addieren, werden Sie feststellen, dass das Maximum bei dieser [Frequenz] erreicht ist.

Nein, und dieses Mal ist es auf vielen zusätzlichen Ebenen falsch, dies bringt Photonen hervor, und die Energiedichte hängt von der Gesamtenergie im Intervall ab, es ist kein Maß pro Photon, das wäre eine völlig andere Frage. Und wir addieren die Energie nicht pro Frequenz, wir addieren die Energie von Intervallen von Frequenzen, das Ergebnis für jedes Intervall ist$dU=u_\nu\Delta\nu$.

Jetzt$E(\lambda)$sagt Ihnen im Grunde dasselbe für die Wellenlänge

Außer wenn wir die gleichen Intervalle verwenden, haben sie jetzt die gleichen$dU$für jedes Intervall, aber die$\Delta \lambda$für jedes Intervall ist anders, also$u_\lambda$ist anders.

Wir wissen, wo bei welcher Frequenz die maximale Energie abgestrahlt wird, kennen also die entsprechende Wellenlänge.

Wir wissen vielleicht, welches Intervall$dU$die meiste Energie lieferte und alle Intervalle eine feste Größe hätten$\Delta \nu$im Frequenzraum können wir dann tatsächlich nehmen$u_\nu=dU/\Delta\nu$und der größte wird wo sein$u_\nu$ist am größten. Aber zu bekommen$u_\lambda$, wir müssen rechnen$u_\lambda=dU/\Delta\lambda$und die$\Delta \lambda$sind für diese Intervalle unterschiedlich, also die, die gemacht werden$u_\nu=dU/\Delta\nu$größte ist nicht derjenige, der macht$u_\lambda=dU/\Delta\lambda$größten.

Es kommt wirklich darauf an, zu wissen, was eine Energiedichte ist, eine Energie dividiert durch eine Menge an Stoff (Streuung der Wellenlängen, Streuung der Frequenz, Volumenbereich usw.)

Das Kopfgeld war für gut dokumentierte Antworten, also habe ich versucht, alle Details einzubeziehen, damit diese Antwort allein alles beantwortet. Das einzige, was Sie wirklich wissen müssen, ist, was eine Dichte ist, was Sie in eine ganze Zahl, Energie pro Wellenlänge, stecken$u_\lambda$ist etwas, das gibt

für die Gesamtenergie für einen beliebigen Wellenlängenbereich. Und Energie pro Frequenz$u_\nu$ist etwas, das gibt

für die Gesamtenergie für einen beliebigen Frequenzbereich. Absolut alles andere folgt aus diesem Wissen, was nur die Definition einer Dichte ist.

Sehen wir uns noch einmal an, was der Begriff „spektrale Energiedichte“ bedeutet. Er bedeutet die Energiemenge, die in einem unendlich kleinen Bereich emittiert wird$d \lambda$oder$d \nu$.

Jetzt wegen der Beziehung$\lambda=\frac{c}{\nu}$, das können wir finden$d \lambda=-\frac{c}{\nu^2}d \nu$.

Das$\nu^2$im Nenner führt zu dem gegebenen Phänomen. Wir können uns das Problem vorstellen, die Box zu finden ($d \lambda$), die in der Planck-Kurve die maximale Höhe hat.

Offensichtlich ist das orangefarbene Kästchen das erforderliche Maximum. Wenn wir jedoch den gegebenen Graphen in Bezug auf die Häufigkeit darstellen, die Größe der Kästchen ($d \lambda$oder$d \nu$) würde sich aufgrund der ändern$\nu^2$im Nenner. Das Kästchen, das der maximalen Höhe in der Wellenlängenkurve entspricht, entspricht möglicherweise nicht der max. Höhe in der Frequenzkurve. Genau das passiert und die Graphen spitzen an zwei verschiedenen Punkten.

Es ist nicht viel Physik beteiligt. Die beiden folgenden Grafiken ($\sin(x)$und$\sin(x^{-1})/x^2$) zusammenfassen. Die größten Bereiche sind das Grün und das Blau. In der ersten Grafik sind die Bereiche gleich breit. Im zweiten Diagramm sind die Bereiche in umgekehrter Reihenfolge und die Breiten sind nicht gleich.

Hier ist eine Antwort, die keine andere Mathematik als das Zählen verwendet , was alles ist, was wir brauchen, um dieses Phänomen zu erklären.

Mit diesem Skript generierte Bilder .

Wirf 1000 Mal ein Paar Würfel. Die Einzelergebnisse sehen so aus:

10,6,11,4,6,8,7,5,7,5,11,6,9,8,11,5,7,11,7,6,8,9,8,6,9,8,9,7,6,12...

Wenn wir nun die Häufigkeit jedes Ergebnisses aufzeichnen, stellen wir fest, dass sieben am häufigsten auftaucht:

Der Grund ist, dass das Ergebnis Sieben auf viele verschiedene Arten erreicht werden kann (1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2 und 6+1), während zB Zwei nur erzielt werden kann, wenn beide Würfel geben genau 1.

Man könnte nun erwarten, dass das Auftragen der Kehrwerte dieser Ergebnisse (von$\tfrac1{12}$zu$\tfrac12$) würde eine Spitze bei zeigen$\tfrac17 \approx 0.143$. Nun, es stellt sich heraus, dass dies nicht passiert – der Höhepunkt liegt eigentlich eher an$0.12$:

Der Grund dafür ist das Binning : Weil die Kehrwerte um niedrige Werte herum dichter fallen (der Abstand zwischen$\tfrac1{12}$und$\tfrac1{11}$ist nur$0.0076$, während der Abstand zwischen$\tfrac13$und$\tfrac12$ist$0.16$). Daher erhalten wir tatsächlich mehr unterschiedliche Ergebnisse in der$0.12$bin als in der$0.14$Behälter.

Nun, für dieses Würfelbeispiel könnten wir dieses Problem beseitigen, indem wir so viele so kleine Behälter erstellen, dass jedes mögliche Ergebnis einen eigenen Behälter hat:

In dieser Ansicht liegt der Höhepunkt bei$0.14$. Die meisten Behälter sind Null.

Aber das funktioniert nur, weil die einzelnen Ergebnisse hart quantisiert sind: Sie können z. B. nicht zwei Würfel summieren$8.734$.
Eine physikalische Verteilung wie das Planck-Spektrum ist kontinuierlich, dh egal wie klein wir die Behälter machen, wir werden immer „unterschiedliche Ereignisse“ in jedem Behälter haben. Und das Einrichten von Bins mit gleicher Verteilung im Frequenzraum ergibt ein anderes Ergebnis als gleich beabstandete Bins im Wellenlängenraum.

Die Physik ist einfach: Die Wellenlänge ist nicht proportional zur Frequenz , sondern eine "verzerrte" Funktion der letzteren, also die Dichtefunktionen (Faktoren bei$d\nu$und$d\lambda$) sind anders.

Ja, es verwirrt viele Leute. In diesem Sinne sollten wir das 2-Wiener Gesetz haben; eine gibt das Maximum der Wellenlänge und die andere die Frequenz an, plus ein Wiensches Gesetz, das mit einer neuen Variablen definiert wird, wie z$\nu^2$oder$\lambda^3$. Jedes Mal, wenn wir das tun, erhalten wir ein neues Wiener Gesetz. Physik, die so sehr von unserer Wahl der Variablen abhängt, sollte einfach aufgegeben werden, weil sie Verwirrung stiftet. Es gab eine schöne Veröffentlichung darüber, in der sie eine neue Definition vorschlagen

https://arxiv.org/pdf/1109.3822.pdf

Es gibt viele verschiedene Möglichkeiten für die Variable$x$beschreibt die Art der ebenen harmonischen EM-Welle (ihre Frequenz), und jede kann zu einer anderen Funktion führen$I_x(x)$das heißt, die ursprüngliche spektrale Verteilung der untersuchten Strahlung auszudrücken. Wenn neue Variable$x' = T(x)$eingeführt wird, bedeutet dies, dass generell die Gleichberechtigung

müssen nicht zufrieden sein. Wenn ja, maximal$I_x$hätte$x$korrespondierend zu$x'$das maximiert$I_{x'}$; ist es aber oft nicht.

Dies liegt daran, dass die Transformation in andere Spektralfunktionen eher dadurch erfolgt, dass dies erforderlich ist

Da diese beiden Funktionen$I_x, I_{x'}$(1) nicht erfüllen müssen, können ihre Maxima verschiedenen Arten von EM-Wellen entsprechen, und dann offensichtlich der Welle, deren Wellenlänge maximiert wird$I_{\lambda}(\lambda)$muss nicht die gleiche Welle sein, deren Frequenz maximiert wird$I_f(f)$.