Warum stimmen die Ableitungen des Schwarzkörperspektrums über Frequenz und Wellenlänge nicht überein?

Spektrale Leistungsdichte ausgedrückt als Funktion der Wellenlänge$E(\lambda)$befriedigen muss

$$P=\int_0^\infty E(\lambda)\; d\lambda,$$

Wo$P$ist totale Macht. Andererseits, wenn wir es als Funktion der Frequenz ausdrücken$E'(\nu)$, wir haben:

$$P=\int_0^\infty E'(\nu)\; d\nu.$$

Und das Ding ist das$E(\lambda)\ne E'(\nu)$für$\lambda=\frac{c}{\nu}$. Lassen Sie uns versuchen, dies in Form von Leistungsunterschieden zu sehen$dP$:

$$dP(\lambda)=E(\lambda)\; d\lambda=E\left(\frac{c}{\nu}\right)\; \frac{d\left(\frac{c}{\nu}\right)}{d\nu}d\nu=-E\left(\frac{c}{\nu}\right)\frac{c}{\nu^2}\;d\nu.$$

So können wir das sehen

$$E'(\nu)=-E\left(\frac{c}{\nu}\right)\frac{c}{\nu^2}=-E(\lambda)\lambda^2/c.$$

Das ist weil$E(\lambda)$ist keine übliche Funktion, sondern eine Leistungsdichtefunktion . Es wird für verschiedene Skalen seiner Argumentation unterschiedlich sein. Es hängt damit zusammen, dass

$$\lambda_1-\lambda_2\ne \frac{c}{\nu_2-\nu_1}.$$

Ruslan hat bereits eine rigorose Herleitung der Ungleichung gegeben, daher hier eine intuitive physikalische Erklärung:

Was macht$E(\lambda)$bedeuten? Lassen Sie uns zur Konkretheit Einheiten von Nanometern verwenden.$E(\lambda)$bedeutet die abgestrahlte Intensität pro gemessenem Nanometer . Wenn wir beispielsweise einen Glasfilter haben, der alles Licht außer dem zwischen 600 nm und 601 nm entfernt, dann ist die Leistungsdichte, die durch den Filter überlebt$\approx E(600.5\text{nm}).$

Was macht$E(\nu)$bedeuten? Lassen Sie uns der Konkretheit halber Einheiten von Gigahertz verwenden.$E(\nu)$bedeutet die abgestrahlte Intensität pro gemessenem Gigahertz . Wenn wir zum Beispiel einen Glasfilter haben, der alles Licht außer dem zwischen 500.000 GHz (das ist die Frequenz von 600 nm Licht) und 500.001 GHz entfernt, dann ist die Leistungsdichte, die durch den Filter überlebt$\approx E(500,000.5\text{GHz}).$

Erwarten Sie, dass diese Zahlen gleich bleiben? Nein, warum? Denn die Filterbreite ist in beiden Fällen unterschiedlich. Sie können selbst überprüfen, dass das Intervall zwischen 600 nm und 601 nm tatsächlich 831 GHz breit ist. So$E(600.5\text{nm})$sollte ungefähr 831-mal so groß sein wie$E(500,000.5\text{GHz})$.

Sie beschreiben also wirklich physikalisch unterschiedliche Ideen , weshalb die Formeln auf der Wikipedia-Seite für das Plancksche Gesetz für Wellenlänge und Frequenz unterschiedlich sind.

Aber das ist nicht alles. Da die in GHz umgerechnete Wellenlängenintervallbreite auch davon abhängt, auf welcher Wellenlänge Sie sich befinden, variiert der Multiplikationsfaktor je nachdem, welchen Teil des Spektrums Sie betrachten. Es gibt also keinen Grund zu erwarten, dass die maximale Position von$E(\lambda)$sollte gleich dem Maximum sein$E(\nu)$.