Warum hat die Tonleiter sieben (oder fünf) Noten? Warum nicht sechs?

Ich denke, Ihre Frage bezieht sich hauptsächlich auf die gewählte Notation für das westliche System, auf die die meisten Antworten nicht wirklich eingegangen sind.

Die Notation, die wir haben, ist aus einem einfachen Grund eigentlich ziemlich natürlich und logisch: Es gibt zwölf verschiedene Noten im westlichen System, aber nur eine Teilmenge davon – tatsächlich sieben – wird in einer bestimmten Tonleiter wie der Dur verwendet Skala.

Lassen Sie uns einzelne Halbtöne als Grundlage für eine Notation verwenden, wie Sie vorschlagen; Nehmen wir also an, die Note A wird immer noch mit A bezeichnet, aber jetzt wird A# (oder Bb) mit B bezeichnet, und dann sind die verbleibenden Noten C, D, E, F, G, H, I, J, K und L (insgesamt zwölf).

Ich verstehe, warum Sie das tun möchten; es entfernt Synonyme. Aber zu welchen Kosten? Wie sieht jetzt ein echter Schlüssel aus? Nehmen wir als Beispiel C-Dur. In der neuen Notation sind die Noten D, F, H, I, K, A, C. Das ist verwirrend und schwer zu merken. Vergleichen Sie mit C-Dur in normaler Notation: C, D, E, F, G, A, B. Es werden nur die sieben Buchstaben durchlaufen.

Was ist mit anderen Schlüsseln? Nehmen wir als weiteres Beispiel F-Dur. Ich werde nicht alles in der neuen Notation wieder ausschreiben, weil Sie nur eine weitere verwirrende Liste von Buchstaben erhalten, aber in der normalen Notation ist es F, G, A, Bb, C, D, E.

Hoffentlich sehen Sie jetzt den Vorteil dieser Notation: Es ist einfach, über jede Tonart nachzudenken, denn wenn Sie die Vorzeichen (dh das B auf dem B) ignorieren, durchlaufen sie einfach unsere sieben Buchstaben.

Sie verlieren die Eindeutigkeit von Notennamen - obwohl dies in der Praxis nicht wirklich der Fall ist, zum Beispiel würden Sie Bb niemals "A #" nennen, wenn Sie über die F-Dur-Tonart sprechen - und die Nützlichkeit dieses Merkmals der Notation überwiegt bei weitem dieses Moll Problem.

Sie können die Oktave nach Belieben aufteilen, aber es stellt sich heraus, dass das, was Sie vorschlagen, zumindest für unsere westlichen Ohren keine gut klingende Musik ergibt.

Das hat alles mit Obertönen und angenehmen Tonhöhenverhältnissen zu tun. Ein Intervall klingt für uns konsonant, wenn das Verhältnis der Frequenzen mathematisch einfach ist. Es bewirkt, dass sich die Wellenformen aneinanderreihen und konstruktive Interferenzen erzeugen.

Wenn ich C als Basis nehme, um die Obertonreihe zu konstruieren, finde ich schnell, dass G und E einfache Verhältnisse haben (3:1 und 5:1, und durch Verschieben von Oktaven, um sie näher zusammenzubringen, 3:2 und 5: 4). Stapeln Sie zwei Quinten und lassen Sie die Oktave fallen, um D = 9:8 zu erzeugen, und gehen Sie eine Quinte nach unten und eine Oktave nach oben, um F = 4:3 zu erzeugen. Jetzt haben wir den Anfang einer Tonleiter: CDEFG, und die Noten sind nicht gleichmäßig verteilt (EF ist ungefähr halb so weit wie die anderen). Dies ist der Beginn der pythagoräischen Stimmung, und verschiedene Möglichkeiten, die verbleibenden Noten der Dur-Tonleiter zu konstruieren und die Lücken zu füllen, führen zu einer großen Anzahl von verhältnisbasierten Stimmungen.

Kurzum: Es ist so, weil es gut klingt. Sicher, es ist in gewisser Weise ein bisschen verrückt, aber wir wollen eine Kunstform nicht zwingen, sich an eine Vorstellung von mathematischer Einfachheit anzupassen.

Der Grund dafür ist, dass die Aufteilung einer Oktave in 12 Noten aus einem sehr mathematischen Grund am besten klingt! Die Frequenz jedes Halbtons ist 2 ^1/12 von seinen Nachbarn entfernt.

Note    C × ?   Fraction    Note    C × ?   Fraction
C       1       1/1         C       2       2/1
C♯/D♭   1.059   18/17       B       1.888   17/9
D       1.122   9/8         A♯/B♭   1.782   16/9
D♯/E♭   1.189   6/5         A       1.682   5/3
E       1.260   5/4         G♯/A♭   1.587   8/5
F       1.335   4/3         G       1.498   3/2
F♯/G♭   1.414   7/5         F♯/G♭   1.414   10/7
G       1.498   3/2         F       1.335   4/3
G♯/A♭   1.587   8/5         E       1.260   5/4
A       1.682   5/3         D♯/E♭   1.189   6/5
A♯/B♭   1.782   16/9        D       1.122   9/8
B       1.888   17/9        C♯/D♭   1.059   18/17
C       2       2/1         C       1       1/1

Beachten Sie, dass jeder Bruch auf der rechten Seite (absteigend) fast die Umkehrung der linken Seite (aufsteigend) ist? Der Unterschied besteht darin, dass jedes Mal eine der Zahlen verdoppelt oder halbiert wird. Je kleiner die beiden Zahlen sind und je kleiner der Unterschied zwischen ihnen ist, desto besser klingen sie für uns. Dies liegt daran, dass die Teile der von ihnen erzeugten Wellenformen sehr oft übereinstimmen.

Wenn die Spitzen oft zusammenfallen, erzeugen sie einen Akkord oder eine Übereinstimmung. Wenn die Spitzen selten zusammenfallen, sind sie disharmonisch und der Klang ist unangenehm! Wir können also aus der Tabelle ersehen, dass C und G zusammen am besten klingen, da C 2 Spitzen für alle 3 Spitzen hat, die G hat. Die nächstbeste Note für C ist F, was eigentlich das umgekehrte Verhältnis von C:G ist. Dann kommt E und gibt uns den CEG-Akkord, von dem wir bereits wissen, dass er sehr schön klingt! Die Verhältnisse für CEG sind (4:5:6)/4. In der Moll-Tonleiter haben wir CE♭-G, was 6/(6:5:4) ist.

Entweder der Zähler oder der Nenner müssen auf einen gemeinsamen, kleinen Wert multipliziert werden können, damit die beiden Noten zusammen gut klingen. Sie denken vielleicht, dass E♭-E gut klingen würde, weil beide eine 5 haben, aber so funktioniert es nicht. Sie würden entweder (24:25)/20 oder 30/(25:24) erhalten, was aufgrund der hohen Zahlen, die zum Finden einer gemeinsamen Frequenz erforderlich sind, nicht gut klingen würde.

Die meisten Antworten hier scheinen sich darauf zu konzentrieren, warum wir in der westlichen Musik bei einer Sieben-Noten-Skala gelandet sind.

Dies ist ein großartiges Untersuchungsgebiet; Es ist jedoch erwähnenswert, dass die Sieben-Noten-Tonleiter unabhängig von der Antwort auf diese Frage ein grundsätzlich willkürliches Produkt der westlichen Kultur ist .

Dissonanz und Harmonie sind kulturell relativ. Die Idee der Oktave taucht in fast jeder Gesellschaft auf; Die Art und Weise, wie die Oktave geteilt wird und welche Kombinationen von Frequenzen angenehm sind, ist jedoch von Kultur zu Kultur unterschiedlich.

"Genau genommen gibt es keine strukturellen Merkmale, die in allen bekannten Musiksystemen identifiziert wurden." - http://www.academia.edu/10684651/Cross-Cultural_Perspectives_on_Music_and_Musicality

Ich würde also argumentieren, dass, obwohl die anderen Antworten bei der Identifizierung von Gründen, warum wir eine Sieben-Noten-Skala verwenden, größtenteils richtig sind, berücksichtigt werden sollte, dass dies im Wesentlichen kulturelle und historische Gründe sind, keine biologischen oder mathematischen Gründe.

Bearbeiten: Ich wollte nur anhand der Kommentare eine Unterscheidung treffen. Ich beziehe mich auf die Wörterbuchdefinition von „Harmonie“, die „die Kombination verschiedener Musiknoten, die gleichzeitig gespielt oder gesungen werden, um einen angenehmen Klang zu erzeugen“ ist – http://merriam-webster.com/dictionary/harmony . Diese Definition bezieht sich nicht auf eine bestimmte mathematische Beziehung oder Konsonanz zwischen den Noten: „Harmonie“ bedeutet einfach, dass der resultierende Klang für den Zuhörer angenehm ist.

Die Antwort auf die Frage „war die diatonische Tonleiter dazu gedacht, Klaviere leichter spielbar zu machen“ lautet eindeutig „nein“, denn die diatonische Tonleiter geht der Erfindung des Klaviers einige Jahrtausende voraus.

Denken Sie daran, dass die meiste Zeit der Musikgeschichte nicht auf Tasteninstrumenten gespielt wurde. Es wurde auf Blas- oder Streichinstrumenten gespielt. Wenn Sie Instrumente sehen möchten, auf denen die chromatische Tonleiter klar angeordnet ist, sehen Sie sich den Hals einer Gitarre, Ukulele oder eines anderen Saiteninstruments mit Bünden an.

Die Antwort auf die Frage „Warum ist Cis enharmonisch mit Des“ ist, weil es sehr bequem ist, dies zu tun. Wie andere Antworten angemerkt haben, sind die grundlegenden Beziehungen in der Musik Schwingungsverhältnisse von 2: 1 oder 3: 2. Aber es ist unmöglich, eine Kombination von 3:2-Verhältnissen zu machen, die zu einem 2:1-Verhältnis führt! Was wir dann tun, ist, dass wir zwölf Noten auswählen, die jeweils in einem Verhältnis der zwölften Wurzel von zwei zueinander stehen; Diese Zahl kann auf eine ganzzahlige Potenz angehoben werden, die ein Ergebnis sehr nahe an 3:2 ergibt. Ich habe vor zehn Jahren eine Reihe von Artikeln darüber geschrieben (von unten anfangen).

Die Antwort auf Ihre Frage "könnten wir auf dem Klavier zwischen jeder weißen Taste eine schwarze Taste haben?" ist ja, und dieses Arrangement hätte mehrere nette Eigenschaften, einschließlich der Möglichkeit, es auf einem Klavier trivial zu transponieren (um eine beliebige Anzahl von Volltönen; das Transponieren von Halbtönen ist in diesem Layout schwierig). Die traditionelle Klaviertastaturanordnung macht es selbst erfahrenen Pianisten schwer, ein Stück, das in einer Tonart bekannt ist, in einer anderen Tonart zu spielen, um beispielsweise dem Tonumfang eines bestimmten Sängers gerecht zu werden. Der Wikipedia-Artikel zu isomorphen Tastaturen könnte Sie interessieren.

Sie könnten auch daran interessiert sein, die Tastenbelegung des Knopfakkordeons zu studieren.

Es wäre unterhaltsam, ein kleines Klavier oder eine Orgel mit dem von Ihnen vorgeschlagenen Tastaturlayout zu bauen und zu lernen, wie man Tonleitern und Akkorde darauf spielt. Wenn ich jemals eine Tastatur baue, werde ich es versuchen und berichten.

Die Antwort auf Ihre Frage "Warum gehen Sie nicht einfach jedes Mal ganze Töne hoch und haben eine Sechs-Noten-Tonleiter?" ist: Du gehst gleich los und spielst solche Musik, wenn du willst. Wenn Sie sich einen Film aus der Mitte des 20. Jahrhunderts ansehen und eine Figur plötzlich in eine Traumsequenz übergeht, stehen die Chancen ziemlich gut, dass die Begleitmusik die von Ihnen beschriebene Skala verwendet. Musik, die in dieser Tonleiter geschrieben ist, kann eine beunruhigende und traumhafte Qualität haben, zumindest für Leute, die daran gewöhnt sind, westliche Musik zu hören.

Es gibt keinen tiefen Grund. Westliche "Volksmusik" verwendete oft nur 5-Noten-Skalen (ungefähr CDEGA in moderner Notation). Das Lied „Amazing Grace“ ist ein bekanntes Beispiel.

Es gab Experimente mit mehr Noten pro Oktave - 19, 31 und 43 funktionieren alle recht gut. Die Leute haben spielbare Tastaturen für diese und andere Systeme gebaut. Es gibt einige Bilder unter http://en.wikipedia.org/wiki/Enharmonic_keyboard .

Nicht-westliche Musik folgt anderen Regeln. Arabische Skalen verwenden 24 gleiche Unterteilungen pro Oktave. Türkische Tonleitern teilen jeden ganzen Ton in 9 gleiche Teile, aber sie verwenden nicht alle 54 Noten in einer Tonleiter. Das javanische Gamelan verwendet zwei Gruppen von Instrumenten, die auf unterschiedliche Tonleitern mit 5 und 7 Noten gestimmt sind, die sich beide von allen Noten in der westlichen Tonleiter unterscheiden.

Es ist interessant, westliche Tonleitern im Nachhinein mit "reinen Intonations" -Intervallen wie 3: 2 und 4: 3 zu rationalisieren (und wurde erstmals vor mindestens 2.500 Jahren durchgeführt), aber angesichts dessen, was der Rest der Welt tut, muss es das dort akzeptieren ist irgendetwas "Grundlegendes" daran. Einige sehr alte europäische monophone Instrumente spielen nicht einmal "Oktaven", die im Verhältnis 2:1 gestimmt sind - zum Beispiel schottische Dudelsäcke, obwohl einige moderne in gleicher Stimmung gestimmt sind.

Tatsächlich sind sogar Klaviere nicht mathematisch gleichschwebend gestimmt – Google nach „Stretched Tuning“.

Es gibt eine Tonleiter, die alle Töne verwendet – sie wird Ganztonleiter genannt. So wie es eine Tonleiter gibt, die Halbtöne verwendet – eine chromatische Tonleiter.

Wenn Sie Ihrer Vorstellung von zusätzlichen schwarzen Tasten folgen, müssen Sie die Breite der weißen nicht ändern. Ein paar zusätzliche Schwarze würden genauso passen wie zwischen den vorhandenen Weißen. Das Problem ist, dass das Muster dann verloren geht, also müsste es andere Orientierungspunkte geben, wie auf einer Harfe.

Drei musikalische Intervalle sind besonders: die Oktave, die reine Quinte und die perfekte Quarte. Wenn man eine Note und ihre ersten drei Obertöne spielt, sind die Intervalle zwischen diesen Tonhöhen eine Oktave, eine Quinte und eine Quarte. Tonleitern klingen in der Regel gut, wenn einige ihrer Noten Intervalle von perfekten oder nahezu perfekten Quinten oder Quarten zwischen sich haben. Eine perfekte Quinte ist sehr nah an 7/12 einer Oktave und eine perfekte Quarte ist sehr nah an 5/12 einer Oktave. Da es sich um ungerade Unterteilungen handelt, gibt es keine Möglichkeit, eine Oktave in weniger als zwölf ungefähr gleiche Stücke zu unterteilen und sie ein Paar Stücke enthalten zu lassen, die durch eine reine Quarte oder Quinte getrennt sind.

Da eine Oktave eine reine Quinte plus eine reine Quarte ist und eine reine Quinte größer als eine reine Quarte ist, ist es sinnvoll, dass zwischen zwei Tonhöhen, die durch eine reine Quinte getrennt sind, mehr Noten liegen sollten als die restlichen Noten in der Oktave durch eine reine Quarte getrennt sind. Wenn die Unterteilungen nicht etwa halb so groß sind wie der Unterschied zwischen einer reinen Quarte und einer Quinte, macht es jedoch keinen Sinn, dass die Quinte zwei Noten mehr enthält als die Quarte. Wenn die Anzahl der Noten innerhalb der Quinte um eins größer ist als die Anzahl innerhalb der Quarte, bedeutet dies, dass die Gesamtzahl der Noten ungerade ist.

Die stärkste Motivation für die ABCDEFGA-Tonleiter ist das SYSTEM von AKKORDEN, die eine Dur-Tonart bilden. Für die Tonart C-Dur gibt uns der Grundakkord C die Noten CEGC. Seine verwandten Akkorde sind F-Dur, bestehend aus FAC, und G-Dur, bestehend aus GBD. Alles zusammen ergibt die Noten CDEFGABC, die alle weißen Noten auf dem Klavier sind. Dasselbe kann für jede andere Taste gemacht werden, und die schrittweise Verwendung jeder der weißen Noten, um ein System von Dur-Akkorden für diese Taste zu bilden, motiviert alle SCHWARZEN Noten auf dem Klavier. Wie gesagt, es geht im Grunde darum, ein ganz bestimmtes Frequenzverhältnis (4-5-6-8) als maximal angenehm für unsere WESTLICHEN und EUROPÄISCHEN Ohren zu identifizieren. Angesichts dessen liegt alles in den Akkordsystemen für eine Tonart.

Das Klavier müsste zu schwarzen Tasten zwischen jeder weißen Taste wechseln.

Das nennt sich Jankó-Tastatur. Sie erlangten nicht die Zugkraft, die erforderlich war, um in großer Zahl populär zu werden. Eine Variante für Akkordeon ist das "System Beyreuther" . Auch hier gewannen sie im Vergleich zu dem heute üblichen "chromatischen Knopfakkordeon", das 3 statt 2 nicht redundante Reihen verwendet, um Halbtöne einheitlich anzuordnen (zur Erleichterung des Fingersatzes und der Transposition gibt es zusätzliche 0-3 redundante Reihen, wobei 2 redundante Reihen auf insgesamt 5 heute die häufigste Variante sind).

Es gibt nichts Neues unter der Sonne...

Um die mathematische Begründung anders zu formulieren: Zwei Töne klingen harmonisch, wenn sie viele Obertöne gemeinsam haben. Bei eindimensionalen Oszillatoren (wie Streichern oder Flöten, aber nicht zum Beispiel Schlagzeug) treten Obertöne bei ganzzahligen Vielfachen einer Grundfrequenz auf, daher tritt Harmonie auf, wenn der Quotient der Grundfrequenzen ein Bruch mit sehr niedrigem Zähler und Nenner ist. Zu den "besten" solchen Brüchen gehören 1/2 und 1/3 (oder 2/3). Daher sollte es einfach sein, Noten mit dieser Beziehung zu spielen, dh eine bestimmte Anzahl von Tasten nach rechts zu gehen, sollte uns eine Oktave (oder eine Quinte) nach oben bringen. Man kann nicht beide Forderungen gleichzeitig erfüllen (zumindest nicht mit nur endlich vielen Schlüsseln), also ist man auf Näherungen angewiesen.

Mathematisch gesehen brauchen wir rationale Annäherungen an log 3/log 2, und die besten solchen Annäherungen finden wir, indem wir den fortgesetzten Bruch für diese Zahl untersuchen, was ist

Log 3/Log 2 = 1+1/(1+1/(1+1/(2+1/(2+1/(3+1/(1+1/(5+...)))) )))

Die besten Annäherungen werden gefunden, indem man diesen unendlich langen Kettenbruch schneidet, und das gibt uns die Annäherungen

1, 2/1, 8/5, 19/12, 65/41, 84/53, 485/306, ...

Der interessanteste Näherungswert ist 19/12, weil er zu unseren 12 Halbtönen führt. Probieren wir es aus: Wir beginnen bei einer zufälligen Frequenz, sagen wir 200 Hz, und multiplizieren diese immer wieder mit 3, wobei wir immer durch 2 teilen, wenn wir 400 Hz überschreiten. Wenn wir dies zwölfmal tun, erhalten wir (ungefähr)

200, 300, 225, 337,5, 253,1, 379,7, 284,8, 213,6, 320,4, 240,3, 360,4, 270,3, (202,7)

und wenn wir der Einfachheit halber zustimmen, dass 202,7 nahe genug an der 200 liegt, mit der wir begonnen haben, ist dies unsere Skala (unsortiert).

Die vorherige Annäherung 8/5 würde zu einer kleineren Tonleiter führen, würde aber erfordern, dass wir zustimmen, dass 379,7 ungefähr 400 ist. Die nächste Annäherung 65/41 hingegen erfordert einfach zu viele Tasten auf unserem Klavier.

Ich versuche es in meinem schlechten Englisch zu erklären.

Sie müssen zwei Bedingungen erfüllen, um eine sogenannte „Dur-Tonleiter“ zu erhalten.

1) ERSTE BEDINGUNG: HARMONISCHE VERBINDUNG

Die stärkste Konsonanz zweier verschiedener Töne wird durch eine „Quinte“ hergestellt, zum Beispiel der Abstand zwischen C und G (CDEFG sind fünf Töne auseinander).

Sie können einen "Quintenkreis" erstellen, eine Notenkette, bei der jede Note eine Quinte entfernt ist. Aber lassen Sie mich mit Gb beginnen, nur für dieses Beispiel:

Gb Db Ab Eb Bb FCGDAEB

Wie Sie sehen können, sind die Noten der C-Dur-Tonleiter alle zusammen auf der rechten Seite. Sie sind also stark miteinander verbunden.

2) ZWEITE BEDINGUNG: ABSTAND

Wir können die Oktave als Dodekagon darstellen, wobei jede Seite ein Halbton ist, eine andere Note.

Versuchen Sie nun, in größtmöglicher Entfernung sieben Punkte auf den Scheitel eines Zwölfkants zu setzen. Sie erhalten die gleiche Konfiguration in großem Maßstab: WWHWWWH (wie Ihre Frau Ihnen gesagt hat).

Der Grund, warum die Dur-Tonleiter (und alle ihre Ableitungen) sieben Noten hat, ist, weil es so ist:

"DIE SKALA, DIE AUS EINER BESTIMMTEN ANZAHL VON TÖNEN BESTEHT, DIE ALLE DURCH QUINNABSTÄNDE VERBUNDEN SIND UND GLEICHMÄSSIG ÜBER EINE OKTABE VERTEILT SIND"

Auf die gleiche Weise erhalten Sie auch die Pentatonik, die diffuser ist als die Dur-Tonleiter.

Ich denke, „willkürlich“ ist die richtige Antwort. Ich vermute, dass angenehme Töne und Intervalle existierten, lange bevor Tonleitern, Tonarten und andere Theorien existierten. Und es gibt etwas Grundlegendes im menschlichen Organismus, das es uns ermöglicht, Musik zu genießen. Schauen Sie sich an, wie viele großartige (nicht nur gute) Musiker keine Noten lesen. Dann wurde eine lächerlich komplexe Theorie geschaffen, um der Realität gerecht zu werden. Hier ist etwas zu beachten: Nehmen wir an, dass die Notenzeile des Violinschlüssels und die Notenzeile des Basisschlüssels in der Klaviermusik durch 2 Noten verbunden sind - mittleres C und "mittleres A". Dann hätten die Noten in beiden Notenzeilen die gleichen Namen - die Notenzeile des Bassschlüssels wäre gelesen als e, f, g, a, b, c, d, f, dasselbe wie der Violinschlüssel. Dies würde die Komplexität halbieren. Viel Glück, das zu ändern.

Klaviertasten müssen gleich breit sein, sonst ist Klavier nicht spielbar. Es hat damit zu tun, wie unsere Muskeln lernen, über die Tasten zu gehen. Einige Tasten breiter als andere zu haben, um überall schwarze Tasten aufzunehmen, würde es unmöglich machen, Klavier zu spielen. Wir schlagen zu unterschiedlichen Zeiten mit unterschiedlichen Fingern auf die Klaviertasten, es ist nicht vergleichbar mit dem Tippen auf einer Computertastatur. Das Muskelgedächtnis würde vorschreiben, Tasten auf eine bestimmte Weise zu drücken, aber wenn eine Taste breiter ist, würde das alles nicht mehr funktionieren, da man sich zu unterschiedlichen Zeiten auf unterschiedliche Breiten einstellen müsste ... so ähnlich wie mit einem Lenkrad auf Ihrem Auto lenken zufällig mit unterschiedlicher Geschwindigkeit, je nachdem, auf welcher Spur welcher Autobahn Sie sich befinden.

Das aktuelle System mit 2 und 3 schwarzen Tasten funktioniert wunderbar – es hilft uns, alles auf einmal zu sehen.

Und das aktuelle System ist eigentlich sehr einfach - wenn Sie darüber nachdenken, gibt es nur 12 Noten zu lernen: 5 schwarze Tasten und 7 weiße. Dann wiederholt sich alles noch einmal. Nun, die Art und Weise, wie dies im Stab geschrieben wird, das ist etwas komplexer, aber das ist eine ganz andere Diskussion, und um ehrlich zu sein, ich habe auch einige Probleme damit ... Sieh dir das an :) )