Warum ist der Satz senkrechter Achsen nur für laminare (2-D) Objekte anwendbar?

Bei einem 3D-Objekt sind zwar alle Scheiben laminar und das Parallelachsentheorem gilt unabhängig für jede Schicht, aber nicht für alle zusammen, dh für das 3D-Objekt. Der Grund dafür ist, dass die Plättchen zwar die gleiche z-Achse haben, aber nicht die gleichen x- und y-Achsen. Sie können also nicht einfach die Trägheitsmomente (MOI) für die x- und y-Achsen für jede Lamelle addieren. Die x- und y-Achsen für jede Schicht sind parallel, aber sie sind gegeneinander und gegen die x-, y-Achsen versetzt, die Sie für das 3D-Objekt verwenden. Wie @Triatticus betont, müssen Sie das Parallelachsentheorem auf jede Schicht anwenden.

Sie können die Werte hinzufügen$I_z$für jede Lamina, um den Wert zu erhalten$I_z$für den 3D-Körper, vorausgesetzt, dass alle z-Achsen zusammenfallen. Die Lamelle müssen dazu nicht symmetrisch sein, und die z-Achse muss nicht einmal durch den Massenmittelpunkt jeder Lamelle verlaufen. Dies ist jedoch keine Anwendung des Satzes senkrechter Achsen – hier gibt es keine senkrechten Achsen .

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Angenommen, Ihr 3D-Objekt besteht aus zwei koaxialen Scheiben mit jeweils einer Masse$m=\frac12 M$und Radius$a$durch eine Distanz getrennt$2b$.

Das MOI für dieses 3D-Objekt liegt um die gemeinsame z-Achse$I_z=2\times \frac12 ma^2=\frac12 Ma^2$. Es entspricht der Summe der$I_z$für die 2 Scheiben, weil die z-Achsen zusammenfallen. Wenn das 3D-Objekt das Perpendicular-Axis-Theorem erfüllt, wären die MOIs um senkrechte Achsen$I_x=I_y=\frac14 Ma^2$. Aber wo liegt der Ursprung für diese x-, y-Achsen? Wenn Sie das Perpendicular Axis Theorem für jede Scheibe anwenden, verwenden Sie für jede Scheibe einen anderen Ursprung, normalerweise die Mitte jeder Scheibe. Wenn Sie den Satz der senkrechten Achse für das 3D-Objekt überprüfen, verwenden Sie den geometrischen Mittelpunkt der beiden Scheiben als Ursprung, der der Mittelpunkt der Mittelpunkte der beiden Scheiben ist.

Die MOIs für jede Scheibe sind etwa x- und y-Achsen durch ihre eigenen Massenschwerpunkte$I_x=I_y=\frac14 ma^2$was den Satz der senkrechten Achse erfüllt. Aber diese Achsen stimmen nicht mit den x- und y-Achsen durch den COM für das 3D-Objekt überein. Die x-, y-Achsen der Scheibe sind jeweils um einen Abstand versetzt$b$vom 3D-Objekt x-, y-Achsen. Unter Verwendung des Parallelachsensatzes werden die MOIs um x- und y-Achsen durch die COMs des 3D-Objekts

$$I_x=I_y=2(\frac14 ma^2+mb^2)=\frac14 Ma^2+Mb^2 \ne \frac12 I_z$$ Gleichberechtigung gilt nur dann $b=0$- dh wenn die Scheiben zusammenfallen.

Im Allgemeinen werden die Trägheitsmomente für ein 3D-Objekt durch den Abstand von der relevanten Achse definiert:

$$I_x=\int (y^2+z^2)dm$$ $$I_y=\int (x^2+z^2)dm$$ $$I_z=\int (x^2+y^2)dm$$ Beachten Sie, dass diese Definitionen durchgehend das gleiche Koordinatensystem verwenden, einschließlich des gleichen Ursprungs. Dann $$I_x+I_y=\int (x^2+y^2+2z^2)dm=I_z+2\int z^2 dm$$ Der Satz von der senkrechten Achse $I_x+I_y=I_z$gilt nur wenn $z=0$für alle Punkte des Objekts - dh wenn das Objekt auf die beschränkt ist $xy$Ebene.

Ihre Methode ist korrekt, aber ich würde sie nicht so nennen wie den Satz der senkrechten Achse. Dies liegt an den Punkten, die andere bereits angesprochen haben. Für ein 2D-Objekt in der xy-Ebene wissen wir das$I_z=I_x+I_y$. Objekte in 3D können auch um diese gleiche Achse gedreht werden, und das stimmt im Allgemeinen nicht$I_z=I_x+I_y$(wie schon gesagt). Ich würde stattdessen sagen, dass Sie nur den Satz der senkrechten Achse auf jede Scheibe anwenden, damit Sie sie jeweils addieren können$I_z$finden$I_z$des Verbundkörpers. Aber ich denke, an diesem Punkt hängt alles nur davon ab, was Sie meinen, wenn Sie den "Satz der 3D-Senkrechtachse" "definieren".

Zusatz:

Wie bereits erwähnt, muss man dabei auch den Verbund im Auge behalten$I_z$ist die Summe über jeden$I_z$, dasselbe gilt nicht für die Trägheitsmomente um die anderen Achsen.$\Sigma I_x$ist ungleich zu$I_x$Zum Beispiel.