Warum ist die einfache harmonische Bewegungsidealisierung ungenau?

Question

Warum ist die einfache harmonische Bewegungsidealisierung ungenau?

Lukas Henrique

In meinem Physikunterricht habe ich immer gehört, dass die einfachen harmonischen Bewegungsformeln ungenau sind, zB in einem Pendel sollten wir sie nur verwenden, wenn die Winkel klein sind; in Federn nur bei geringer Raumänderung. Soweit ich weiß, stammt SHM aus den Differentialgleichungen des Hookeschen Gesetzes - also sollte es mit Kalkül wirklich genau sein. Aber warum nicht?

AccidentalFourierTransform

Das Hookesche Gesetz ist eine Idealisierung.

valerio

cyberphysics.co.uk/graphics/graphs/stress_strain2.gif

AccidentalFourierTransform

verwandt: Warum tut

ω = \sqrt{V^{″} (x_{0}) / m}

$\omega = \sqrt{V''(x_0) / m}$ ?

Peter Diehr

SHM impliziert, dass die Bewegung unvermindert für immer anhält. Aber das tut es nicht. Somit ist SHM eine Idealisierung.

Selene Rouley

Manchmal ist Hookes Gesetz jedoch eine sehr gute Idealisierung. Beim Pendel sieht man das deutlich

\ddot{θ} = - ω^{2} \sin θ

$\ddot{\theta} = -\omega^2\,\sin\theta$ ist eine bessere Beschreibung der Physik. Aber für eine Feder, die unter geringer Belastung arbeitet, ist das Hookesche Gesetz bemerkenswert genau (die signifikanteste Abweichung vom Ideal ist oft der Verlust, der kein nichtlinearer Effekt sein muss) und eine genauere nichtlineare Gleichung ist nicht erforderlich

\ddot{θ} = - ω^{2} \sin θ

$\ddot{\theta} = -\omega^2\,\sin\theta$ aber eine allgemeinere nichtlineare Funktion, die approximiert

θ

$\theta$ .

Nick

SHM kann aufgrund von Dämpfung und äußeren Kräften nicht in der realen Welt stattfinden. Darüber hinaus haben wir verschiedene Verformungen, die im System auftreten können.

\sin θ \approx θ

$\sin\theta \approx \theta$ verringert nur die Reichweite

θ (t)

$\theta (t)$ zu einem, bei dem der Näherungsfehler tolerierbar ist. Selbst in diesem Bereich ist die Gleichung eine Idealisierung. Aber es ist überraschend gut genug für grundlegende Zwecke, was darauf hinweist, dass die vernachlässigten Parameter in diesen Fällen vernachlässigbar waren.

stevenrcfox

Die Genauigkeit eines Modells wird dadurch bestimmt, was modelliert wird und was noch wichtiger ist, was nicht. Die Größe der nicht modellierten Effekte im Vergleich zu denen, die es sind, gibt Ihnen den Anwendungsbereich eines Modells. Ein Problem mit SHM sind die kleinen Winkel, wie in der akzeptierten Antwort besprochen, es werden jedoch auch Luftwiderstand, Reibung am Befestigungspunkt und Materialeigenschaften (Gewichtsverteilung, Elastizität usw.) ignoriert.

Antworten (7)

Warum ist die einfache harmonische Bewegungsidealisierung ungenau?

SHM impliziert, dass die Bewegung unvermindert für immer anhält. Aber das tut es nicht. Somit ist SHM eine Idealisierung.
Manchmal ist Hookes Gesetz jedoch eine sehr gute Idealisierung. Beim Pendel sieht man das deutlich $\ddot{\theta} = -\omega^2\,\sin\theta$ ist eine bessere Beschreibung der Physik. Aber für eine Feder, die unter geringer Belastung arbeitet, ist das Hookesche Gesetz bemerkenswert genau (die signifikanteste Abweichung vom Ideal ist oft der Verlust, der kein nichtlinearer Effekt sein muss) und eine genauere nichtlineare Gleichung ist nicht erforderlich $\ddot{\theta} = -\omega^2\,\sin\theta$ aber eine allgemeinere nichtlineare Funktion, die approximiert $\theta$ .
SHM kann aufgrund von Dämpfung und äußeren Kräften nicht in der realen Welt stattfinden. Darüber hinaus haben wir verschiedene Verformungen, die im System auftreten können. $\sin\theta \approx \theta$ verringert nur die Reichweite $\theta (t)$ zu einem, bei dem der Näherungsfehler tolerierbar ist. Selbst in diesem Bereich ist die Gleichung eine Idealisierung. Aber es ist überraschend gut genug für grundlegende Zwecke, was darauf hinweist, dass die vernachlässigten Parameter in diesen Fällen vernachlässigbar waren.
Die Genauigkeit eines Modells wird dadurch bestimmt, was modelliert wird und was noch wichtiger ist, was nicht. Die Größe der nicht modellierten Effekte im Vergleich zu denen, die es sind, gibt Ihnen den Anwendungsbereich eines Modells. Ein Problem mit SHM sind die kleinen Winkel, wie in der akzeptierten Antwort besprochen, es werden jedoch auch Luftwiderstand, Reibung am Befestigungspunkt und Materialeigenschaften (Gewichtsverteilung, Elastizität usw.) ignoriert.

JAustin · Answer 1

Die tatsächliche Rückstellkraft ist bei einem einfachen Pendel nicht proportional zum Winkel, sondern zum Sinus des Winkels (d.h. Winkelbeschleunigung ist gleich $-\frac{g\sin(\theta)}{l}$ , nicht $-\frac{g~\theta}{l}$ ). Die eigentliche Lösung der Differentialgleichung für das Pendel ist

θ (t) = 2 a m (\frac{\sqrt{2 g + l c_{1}} (t + c_{2})}{2 \sqrt{l}} | \frac{4 g}{2 g + l c_{1}})

$\theta (t)= 2\ \mathrm{am}\left(\frac{\sqrt{2 g+l c_1} \left(t+c_2\right)}{2 \sqrt{l}}\bigg|\frac{4g}{2 g+l c_1}\right)$

Wo $c_1$ ist die anfängliche Winkelgeschwindigkeit und $c_2$ ist der Anfangswinkel. Der Term nach der vertikalen Linie ist der Parameter der Jacobi-Amplitudenfunktion $\mathrm{am}$ , was eine Art elliptisches Integral ist.

Dies unterscheidet sich deutlich von der üblichen vereinfachten Lösung

θ (t) = c_{1} \cos (\sqrt{\frac{g}{l}} t + δ)

$\theta(t)=c_1\cos\left(\sqrt{\frac{g}{l}}t+\delta\right)$

Die Kleinwinkelnäherung gilt nur bis zu einer Näherung erster Ordnung (durch Taylorentwicklung $\sin(\theta)=\theta-\frac{\theta^3}{3!} + O(\theta^5)$ ).

Und das Hookesche Gesetz selbst ist für große Verschiebungen einer Feder ungenau, was dazu führen kann, dass die Feder bricht oder sich verbiegt.

Können Sie eine mathematische Quelle angeben, um die "tatsächliche" Lösung des diff eq zu beweisen?
Warum sind $\text{a}$ und $\text{m}$ in nicht mathematischen Schriftarten in der Gleichung geschrieben? Warum ist die Formel für $\theta(t)$ keine Schwingungsfunktion?
Neben der Frage von David Sanks, was sind $c_1$ und $c_2$ und was tut $|$ stehen für?
Die Lösung stammt von Mathematica und wurde mit dem TeXForm-Befehl in TeX konvertiert. Ich werde die Formatierung korrigieren und die Notation erklären.
Und ich glaube, es ist oszillierend. Die Amplitudenfunktion ist oszillierend, und das Mathematica-Diagramm ist sicherlich periodisch: imgur.com/YaLRuNq .
Da (a)cceleration und (m)ass Konstanten sind, die in der Mechanik so allgegenwärtig sind, denke ich, dass die Namenswahl für die Jacobi-Amplitudenfunktion schlecht ist.
@MartinArgerami Deshalb wird Beschleunigung mal Masse als „ am “ (kursiv) und Amplitudenfunktion als „am“ (normal) geschrieben. Auf diese Weise werden Funktionsnamen von Variablen unterschieden. Siehe *c*1 cos(...) in der zweiten Formel.
@Crowley: Das macht die Namenswahl nicht gut. Es ist wie die Verwendung von Variablen $c,o,s$ mit dem Kosinus und haben eine Formel wie $cos\,\cos t$ .

Gert · Answer 2

Das Problem hier ist nicht so sehr Kalkül, sondern die Annahmen, die über das System gemacht werden. Die Lösung kann nur so genau sein wie die getroffenen Annahmen, egal wie genau die Lösungen der Gleichungen sind.

Für ein Pendel, wo der Abstand zwischen dem Schwerpunkt und dem Ankerpunkt ist $l$ und die Masse ist $m$ , die Bewegungsgleichung lautet:

\frac{d^{2} θ}{d t^{2}} + \frac{g}{l} Sünde θ = 0

$\frac{d^2\theta}{dt^2}+\frac{g}{l}\sin \theta=0$

Wo $\theta$ ist der Winkel zwischen dem Pendel und der Vertikalen.

Aber das ist mathematisch schwer zu lösen, also berufen wir uns auf die Kleinwinkelnäherung:

Sünde θ \approx θ

$\sin \theta \approx \theta$

Dies macht die Gleichung leicht zu lösen, aber ihre Lösungen sind nur ungefähr.

In ähnlicher Weise nehmen wir für Feder-Masse-Systeme normalerweise an, dass die Feder Hookesch ist, aber für viele reale Systeme ist dies nur eine Annäherung.

Häufig führen andere Annahmen über ein schwingendes System, wie z. B. keine Reibung/kein Luftwiderstand , auch zu einer weiteren Ungenauigkeit des Modells gegenüber der Realität.

ACuriousMind · Answer 3

Für ein Pendel verwenden Sie die Näherung $\sin(\theta)\approx\theta$ bei der Herleitung der einfachen harmonischen Bewegungsgleichung, die nur für kleine Winkel gilt.

Bei einer Feder gilt das Hookesche Gesetz selbst nur für eine relativ geringe Dehnung der Feder - eine Feder, auf die Sie das Hundertfache der Kraft aufbringen, die zum Dehnen um 10% erforderlich ist, ist normalerweise nicht zehnmal so lang, wenn dies der Fall ist überhaupt noch in einem Stück.

anna v · Answer 4

Man muss sich den Unterschied zwischen dem vorgeschlagenen mathematischen Modell und dem physikalischen System, das es beschreiben wird, klarmachen.

Soweit ich weiß, stammt SHM aus den Differentialgleichungen des Hookeschen Gesetzes - also sollte es mit Kalkül wirklich genau sein.

Die mathematische Gleichung ist genau, denn das ist die Funktion der Mathematik.

Die Frage ist : "Kann es ein bestimmtes physisches Setup modellieren?"

Für ein Pendel verwendet man bei der Herleitung der einfachen harmonischen Bewegungsgleichung die Näherung sin(θ)≈θ, die nur für kleine Winkel gilt.

Die Aussage "gilt nur für kleine Winkel" definiert die Grenzen, wo das mathematische Modell des harmonischen Oszillators verwendet werden kann, um das Pendel zu beschreiben.

Übrigens ist der mathematische harmonische Oszillator im Quantisierungsregime sehr wichtig, da die meisten symmetrischen physikalischen Potentiale, die in einer Taylor-Reihe entwickelt wurden, als ersten dominanten Term x^2 haben. Deshalb ist es ein nützliches Potential für viele Approximationen komplizierter Potentiale.

Lawrence B. Crowell · Answer 5

Die Differentialgleichung für den harmonischen Oszillator

\frac{d^{2} x}{d t^{2}} - k x = 0

$\frac{d^2x}{dt^2} - kx = 0$ ist eine Annäherung an das allgemeine Pendel. Zurück zum elementaren Pendel haben wir die Grundsumme der Kräfte für die entlang der Saite orientierte y-Koordinate und die dazu senkrechte x-Achse. Die Kräfte sind hier im Diagramm gekennzeichnet

Wir machen unsere Kräftesumme entlang der y-Richtung, die Null ist, also die Spannung $T = mg\cos\theta$ , und die Beschleunigung in der $x$ Richtung ist

m a = m g Sünde θ .

$ma = mg\sin\theta.$ Wir machen normalerweise die folgende Annahme. Dieser Winkel wird als klein angenommen, also haben wir

\sin θ ≃ θ

$\sin\theta \simeq \theta$ . Die Bogenlänge der Schaukel ist

r = ℓ θ

$r = \ell\theta$ . zum

ℓ

$\ell$ die Länge der masselosen Saite. Diese Differentialgleichung, wo

a = d^{2} x / d t^{2}

$a = d^2x/dt^2$ , wird dann geschrieben als

\frac{d^{2} θ}{d t^{2}} - \frac{g}{ℓ} θ = 0,

$\frac{d^2\theta}{dt^2} - \frac{g}{\ell}\theta = 0,$ was uns die elementaren Lösungen liefert

θ (t) = \exp (\sqrt{g / ℓ} t)

$\theta(t) = \exp\left(\sqrt{g/\ell}~t\right)$ .

Wir kehren aber zum allgemeinen Fall mit zurück

\frac{d^{2} θ}{d t^{2}} - \frac{g}{ℓ} Sünde θ = 0,

$\frac{d^2\theta}{dt^2} - \frac{g}{\ell}\sin\theta = 0,$ Dies ist die Jacobi-Gleichung und ihre Lösungen sind

θ (t) = 2 J_{a m} (\frac{1}{2} \sqrt{(k - 2 g / ℓ) (t + t_{0})} | \frac{4 g / ℓ}{2 g / ℓ - k})

$\theta(t) = 2J_{\mathrm{am}}\left(\frac{1}{2}\sqrt{(k - 2g/\ell)(t + t_0)}\Big|\frac{4g/\ell}{2g/\ell - k}\right)$ wo

J_{a m} (x | y)

$J_{\mathrm{am}}(x|y)$ ist die Jacobi-Amplitude oder elliptische Funktion. Darauf gehe ich nicht näher ein, sondern überlasse das dem Leser.

Der harmonische Oszillator ist eine Linearisierung eines allgemeineren Problems. Es gibt verwandte Themen wie die Mathieu-Gleichung und Floquet-Lösungen, und in einem relativistischen Rahmen ist eine verwandte Sinusgleichung die Sinus-Gordon-Gleichung für ein Soliton.

Wladimir Kalitwjanski · Answer 6

Alle Bewegungsgleichungen sind bis zu einem gewissen Grad ungenau. Die Begriffe Koordinate, Zeit, Kraft usw. sind tatsächlich ungenau und das liegt an uns. Wir stimmen zu, vereinfachte, idealisierte Begriffe für unsere Zwecke zu verwenden. Zum Beispiel gibt es keine zwei absolut gleichen Äpfel, also können wir sie streng genommen nicht als zwei Äpfel zählen. Aber indem wir ihre Unterschiede als unwesentlich für uns akzeptieren, fangen wir an, Mathematik anzuwenden und verschiedene Dinge als gleich zu betrachten. Mathe ist unsere Idealisierung und Vereinfachung für praktische Zwecke.

Jim Haddoc · Answer 7

Diese Annäherungen beruhen auf der Tatsache, dass jedes Potential dem Federpotential in der Nähe seiner Gleichgewichtspunkte angenähert werden kann, was ich beweisen werde.

Angenommen, Sie haben ein Potenzial $V(x)$ und wenn $x_0$ ist ein stabiler Gleichgewichtspunkt in $V(x)$ , dann das Potenzial in der Nähe $x_0$ wird sein (Taylor-Erweiterung),

v (x_{0} + d x) = v (x_{0}) + v^{^{'}} (x_{0}) d x + \frac{1}{2} v^{"} (x_{0}) d x^{2} + Ö (d x)

$V(x_0 + dx) = V(x_0) + V^{'}(x_0)dx + \frac{1}{2}V^{"}(x_0)dx^2 + O(dx)$ wo

O (d x)

$O(dx)$ bezeichnen Terme höherer Ordnung in

d x

$dx$ . Seit

x_{0}

$x_0$ ist ein Gleichgewichtspunkt,

V^{^{'}} (x_{0}) = 0

$V^{'}(x_0)=0$ und da wir über Punkte in der Nähe sprechen

x_{0}

$x_0$ ,

O (d x) = 0

$O(dx)=0$ . Nehmen

V (x_{0}) = 0

$V(x_0)=0$ Um der Bezugspunkt zu sein, haben wir

v (x_{0} + d x) = \frac{1}{2} v^{"} (x_{0}) d x^{2}

$V(x_0 + dx) = \frac{1}{2}V^{"}(x_0)dx^2$ Aber das führt zu der Gleichung,

m d \ddot{x} = - v^{"} (x_{0}) d x

$md\ddot x = -V^{"}(x_0)dx$

⟹ ω = \sqrt{\frac{v^{"} (x_{0})}{m}}

$\Longrightarrow \omega = \sqrt{\frac{V^{"}(x_0)}{m}}$ Aus dieser Gleichung können Sie die Winkelfrequenz für alle SHMs ableiten. Beachten Sie jedoch, dass wir die Terme höherer Ordnung vernachlässigt haben

d x

$dx$ da wir davon ausgegangen sind

d x

$dx$ ist sehr klein. Diese Annahme wird in der einen oder anderen Form in all den verschiedenen Ableitungen der Formel für SHMs vorhanden sein. Für das Frühjahr wird es in der Taylor-Expansion sein

\sin (θ)

$\sin(\theta)$ , für Federn ist es die Näherung im Hookschen Gesetz. Aufgrund dieser Näherung sind die Formeln für die meisten SHMs für große Amplituden nicht gültig.

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