Warum zeigt ein einfaches Pendel oder ein Feder-Masse-System nur für kleine Amplituden eine einfache harmonische Bewegung?

Ein einfaches Pendel zeigt keine einfache harmonische Bewegung, es sei denn, Sie erlauben einige Annäherungen und Unsicherheiten. Er verhält sich für kleine Amplituden näherungsweise wie ein harmonischer Oszillator.

Von einem Objekt wird gesagt, dass es eine einfache harmonische Bewegung ausführt (keine Dämpfung; keine erzwungene Schwingung), wenn und nur wenn es die folgende Bedingung erfüllt:

$$\frac{d^2 \phi}{dt^2} = -\omega^2 \phi \tag{1}$$

wo$\phi$ist eine variable Größe wie Verschiebung, Winkelverschiebung usw.

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Führt ein Pendel eine einfache harmonische Bewegung aus?

Die Bewegungsgleichung für das Pendel kann geschrieben werden als:

$$\vec{F} = {m\vec{g}} - \vec{T}$$

Wir wissen, dass sich der Pendelkörper kreisförmig bewegt (angenommen, die Saite dehnt sich nicht), daher gibt es keine Bewegung in Richtung der Saite. Dies würde bedeuten, dass die Nettokraft auf den Bob verwendet wird, um eine konstante Zentripetalkraft bereitzustellen.

$$F_{radial} = T - mg\cos \theta = \frac{mv^2}{L}$$

Die Beschleunigung entlang des Umfangs der Saite kann geschrieben werden als:

$$F_{tangential} = ma = mg \sin \theta$$

$$a_{tangential} = a = g \sin \theta \tag{2}$$

Die Tangentialbeschleunigung kann durch den Winkel ausgedrückt werden$\theta$folgendermaßen:

$$v = L \frac{d\theta}{dt}$$ $$\frac{dv}{dt} = a = -L\frac{d^2\theta}{dt^2} \tag{3}$$

Wir haben ein Minuszeichen, weil die Gravitationskraft (Beschleunigung) immer versucht, den Winkel zu verringern$\theta$.

Ersetzen$(3)$in$(2)$, du erhältst,

$$L\frac{d^2\theta}{dt^2} = -g \sin \theta \tag{4}$$

Wenn Sie die Gleichung vergleichen$(4)$mit gleichung$(1)$, werden Sie feststellen, dass es nicht übereinstimmt.

Das würde bedeuten, dass der Pendelkörper keine einfache harmonische Bewegung ausführt.

Wenn jedoch die Amplitude klein ist, dann der Maximalwert von$\theta$ist klein. Die Kleinwinkelnäherung kann wie folgt angegeben werden:

$$\sin \theta \approx \theta$$

Bildquelle: Wikipedia

Mit der Annäherung können Sie die Gleichung umschreiben$(4)$wie

$$L\frac{d^2\theta}{dt^2} = -g\theta \tag{5}$$

Die obige Gleichung sieht der Gleichung ziemlich ähnlich$(1)$. Es passt perfekt zusammen. Daher führt das Pendel für kleine Amplituden eine einfache harmonische Bewegung mit einer angemessenen Unsicherheit aus.

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Führt ein Feder-Masse-System einfache harmonische Bewegungen aus?

Wenn die Feder dem Hookeschen Gesetz gehorcht, führt sie immer eine einfache harmonische Bewegung aus.

Das Hookesche Gesetz besagt, dass:

$$F_{restoring} = ma = - kx \tag{6}$$

Aus der obigen Gleichung ist klar ersichtlich, dass die Beschleunigung direkt proportional zur Verschiebung ist und in der der Verschiebung entgegengesetzten Richtung wirkt.

Warum begrenzen wir die Amplitude eines Feder-Masse-Systems?

Unter hoher Belastung gehorcht die Feder nicht dem Hookeschen Gesetz. Das ist ziemlich offensichtlich: Wenn Sie eine Feder zu stark dehnen, verformt sie sich dauerhaft. Daher die Gleichung$(6)$hält nicht mehr. Wenn diese Gleichung nicht gilt, führt die Masse keine einfache harmonische Bewegung aus. 

Warum zeigt ein einfaches Pendel oder ein Feder-Masse-System nur für kleine Amplituden eine einfache harmonische Bewegung (SHM)?

Eine einfache harmonische Bewegung (in einer Dimension) ist per Definition eine Lösung der allgemeinen Gleichung

$$\frac{d^2x}{dt^2}+\omega^2x=0,$$ wo $x$ist eine generische Variable (es kann zum Beispiel eine Verschiebung oder ein Winkel sein). Diese Bewegungsgleichung kann aus dem zweiten Newtonschen Gesetz erhalten werden $$m\frac{d^2x}{dt^2}=F=-\frac{dU}{dx},$$ wobei das letzte Gleichheitszeichen für konservative Kräfte gilt, mit $U$die potentielle Energie sein.

Daher können wir vergleichen

$$\frac{d^2x}{dt^2}+\frac{1}{m}\frac{dU}{dx}=0,$$ mit der Gleichung, die das SHM definiert, und sehen Sie, dass dies das Potenzial erfordert $U$quadratisch sein $x$.

Weder ein einfaches Pendel noch eine echte Feder haben ein Potential, das um einen Gleichgewichtspunkt quadratisch (oder parabolisch) ist. In einem ausreichend kleinen Bereich um das Gleichgewicht (Nullkraft und Minimum des Potentials) können wir das Potential jedoch bis zur zweiten Ordnung erweitern, was gerade ein parabolisches Potential ergibt. Um dies zu verstehen, betrachten Sie die folgende Abbildung:

Dies ist ein generisches Potential, das definitiv nicht die erforderliche Form für ein SHM hat. Beachten Sie jedoch, dass wir eine Parabel (gepunktete Linie) um jeden stabilen Gleichgewichtspunkt wie z$x_0$. In der Nähe des Gleichgewichtspunktes$x_0$Wir haben die Erweiterung,

$$U(x)=U(x_0)+\frac{dU(x_0)}{dx}(x-x_0)+\frac{1}{2}\frac{d^2U(x_0)}{dx^2}(x-x_0)^2+\mathcal O(\Delta x^3),$$ wo $\mathcal O(\Delta x^2)$bedeutet, dass wir Auftragsbedingungen vernachlässigen $(x-x_0)^3$oder größer. Da die erste Ableitung des Potentials at $x_0$gibt die Kraft an $x_0$(was null ist), verschwindet dieser Term. Uns bleibt übrig $$U(x)=U(x_0)+\frac 12 k(x-x_0)^2++\mathcal O(\Delta x^3),$$ und da $U(x_0)$ist ein irrelevanter Zusatzbegriff, und $k=frac{d^2U(x_0)}{dx^2}$konstant ist, ist dieses quadratische Potential genau das charakteristische Potential von SHM. In der Nähe $x_0$es gibt eine lineare und rückstellende Kraft. Beachten Sie jedoch, dass diese Näherung nicht für beliebige Verschiebungen gilt. Irgendwann $x-x_0$so groß ist, dass Terme höherer Ordnung berücksichtigt werden müssen.

Für ein einfaches Pendel ist das Potential$-mgl\cos x$($x$ein Winkel ist), dessen Erweiterung um zwei Ordnung zwei um das Gleichgewicht herum nach oben erfolgt$x=0$gibt eine Parabel. Für eine echte Quelle kann das Potenzial noch komplizierter sein, im Allgemeinen ist es eine Summe von Begriffen$a_nx^{2n}$. Dann können wir für eine kleine Region Terme höherer Ordnung fallen lassen und nur den führenden behalten$a_1x^2$was das Hook-Gesetz ergibt.

Es bedeutet nur, dass das Pendel SHM nur mit kleinen Winkeln ausführt, denen das Pendel beim Schwingen entgegenwirkt.

Für größere Winkel weicht die Bewegung des Pendels davon ab, einfach harmonisch zu sein; deshalb wird bei der Ableitung die Kleinwinkelnäherung benötigt.

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BEARBEITEN:

Auch bei einem horizontalen Masse-Feder-System darf die Auslenkung der Masse aus ihrer Gleichgewichtslage nicht zu groß gemacht werden, da sonst die einfach-harmonische Bewegung ihre Gültigkeit verliert.

Unabhängig davon, ob es sich um ein Pendel handelt, das SHM unterzogen wird, oder um ein Masse-Feder-System, ist die Verschiebung aus der Gleichgewichtsposition$\propto$zum Negativen der Beschleunigung in Richtung des Gleichgewichtspunktes, da diese in entgegengesetzte Richtungen verlaufen, was der Grund für das Minuszeichen ist.