Warum treffen sich zwei Pendel mit gleicher Periode in diesem Winkel?

„Zwei Pendel mit gleicher Masse und Länge R werden aus der Ruhe entlassen. Das erste Pendel wird aus einem Winkel von gelöst θ 1 = − 2 º , und das zweite Pendel wird aus einem Winkel freigegeben θ 2 = + 5 º . Berechnen Sie den Winkel, in dem sie zusammenstoßen."

Die Lösung besagt nun, dass die Schwingungsfrequenz (für kleine θ ) für jedes Pendel ist w = G R somit T 1 = T 2 und deshalb kommen sie gleichzeitig an θ = 0 º . Daher erfolgt die Kollision bei θ = 0 º .

Ich weiß, wie man auf die Schwingungsfrequenz kommt w aber ich verstehe die Auswirkungen auf den Kollisionswinkel nicht ganz. Warum ist das wann T 1 = T 2 das bedeutet, dass sie sich zwangsläufig treffen θ = 0 º ? Ist das eine allgemeine Regel? Wenn θ 1 fing an bei − 30 º Stattdessen würde es immer noch wahr sein, dass sie sich bei treffen 0 º ?

Das Ergebnis beruht auf der „Kleinwinkel“-Näherung – da die Pendel die gleiche Länge und Masse haben, brauchen sie die gleiche Zeit, um vom Extrem zum Zentrum der Schwingung zu gelangen. Diese Annäherung wird jedoch mit zunehmendem Anfangswinkel zunehmend schlechter, sodass sie nicht für Anfangswinkel von mehr als etwa 20 Grad angewendet werden sollte. Ein von 30 Grad ausgelöstes Pendel ist etwas zu weit entfernt, um die Annäherung gut zu verwenden, sodass es nicht die gleiche Periode wie ein Pendel mit identischer Länge / Masse hätte, das von 2 Grad ausgelöst wurde, und die Kollision nicht bei 0 Grad stattfinden würde .

Antworten (2)

Dies liegt an der Symmetrie der Situation. Wir können eine Pendelschwingung in vier Teile unterteilen:

  1. Pendel schwingt vom höchsten Punkt links nach unten.
  2. Pendel schwingt von unten nach oben zum höchsten Punkt rechts.
  3. Pendel schwingt vom höchsten Punkt rechts nach unten.
  4. Pendel schwingt von unten nach oben zum höchsten Punkt links.

Wenn Sie darüber nachdenken, dauert jeder dieser Schritte gleich lang: T / 4 , Wo T ist die Pendelperiode. Seit T ist für alle Pendel mit der Länge gleich R (in der kleinen Winkelgrenze), dann führt das gleichzeitige Starten der Schritte 1 und 3 für zwei Pendel (das sind Punktmassen, damit sie nicht zu früh kollidieren) dazu, dass sie die Schritte 1 und 3 immer gleichzeitig abschließen , genau dort, wo sie zusammenstoßen.

Jonathans Lösung ist meiner Meinung nach die eleganteste. Hier ist eine mathematischere, vorausgesetzt, Sie wissen, wie die Bewegungsgleichung für das Pendel lautet.

Der Winkel θ ( T ) entwickelt sich nach der Gleichung:

θ ¨ ( T ) = − ω 2 θ ( T )

Die Lösungen sind gegeben durch:

θ ( T ) = θ 0 cos ⁡ ( ω T )
Wo θ 0 ist die Ausgangslage. Um das Problem zu lösen, müssen die Winkel der beiden Pendel gleich sein und das kann nur passieren, wenn die cos-Funktion Null ist, was impliziert, dass der Winkel Null sein muss. Der Zeitpunkt, zu dem sie kollidieren, ist dann:
T = π 2 ω
was, wie Jonathan sagte, ist T / 4 .

Zu Ihrer letzten Frage, ob ein Pendel anfing 30 ° , wäre die Näherung kleiner Winkel nicht mehr gültig und man hätte keinen einfachen harmonischen Oszillator.

Warum treffen sich zwei Pendel mit gleicher Periode in diesem Winkel?
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