Warum ist die Energie, die der wahrscheinlichsten Geschwindigkeit entspricht, nicht gleich der wahrscheinlichsten Energie?

Lassen Sie uns genau überlegen , was uns die Maxwell-Boltzmann-Verteilung sagt. Wenn wir faul sind, könnten wir sagen, dass es uns die Wahrscheinlichkeit gibt, dass ein Teilchen eine Geschwindigkeit hat$v$, jedoch seit$v$einen kontinuierlichen Bereich von Werten annehmen kann, ist die Wahrscheinlichkeit, dass es einen gegebenen Wert annimmt$0$. Stattdessen sagen wir, dass es uns die Wahrscheinlichkeit gibt, dass ein Teilchen eine Geschwindigkeit in einem schmalen Bereich hat$v$Zu$v+\mathrm{d}v$. Nun sind es die Wahrscheinlichkeiten und nicht die Wahrscheinlichkeitsdichten, die physikalisch wichtig sind und daher unabhängig davon sein sollten, wie wir sie darstellen. Deshalb

$$f(v)\mathrm{d}v = f(E)\mathrm{d}E$$ und nicht, wie Sie es vielleicht naiverweise getan haben$f(v)=f(E)$. Dies ist wichtig, da die Beziehung zwischen$v$Und$E$ist nichtlinear, seine Größe wird verzerrt, wenn wir die Transformation vornehmen und$\mathrm{d}v\ne\mathrm{d}E$. Das bedeutet, dass selbst bei entsprechenden Energien und Geschwindigkeiten$f(v) \ne f(E)$. Tatsächlich, wie @gautampk betont, da$v\propto E^{\frac{1}{2}}$,$\mathrm{d}v\propto \frac{1}{2}\mathrm{d}E$, was zu genau der Diskrepanz führt, die Sie bemerkt haben.

Dies hängt mit einem Konzept zusammen, das als Zustandsdichte bezeichnet wird , eine Funktion, die die "Anzahl der Möglichkeiten" zählt, um eine Energie im Bereich zu haben$E$Zu$E+\mathrm{d}E$, oder alternativ wie viel die Länge$\mathrm{d}v$wurde gequetscht und gedehnt. Es ist der$\sqrt{E}$bisschen in der Boltzmann-Verteilung für Energie (zusammen mit einigen der Konstanten vorne). Dies ist tatsächlich einer der seltenen Momente, in denen die Quantenmechanik das Leben einfacher macht. Unser Gas aus Teilchen ist wirklich quantenmechanisch, wenn wir genau hinsehen, und ein Gas aus Quantenteilchen in einem endlichen Volumen hat einen diskreten Satz von Energiezuständen. Die Zustandsdichte zählt dann wirklich, wie viele dieser diskreten Zustände eine Energie in einem bestimmten Bereich haben.