Wenn Sie möchten, können Sie argumentieren, dass es drei Möglichkeiten für das Triplett gibt, aber nur eine für das Singulett. Die Quantenmechanik muss den Triplett-Eigenwert auf drei Eigenvektoren aufteilen, während der Singulett-Eigenwert vollständig zum Singulett-Eigenvektor gehört.

Warum ich denke, dass die Dinge verwirrend sein könnten

Wenn Sie sagen "Die Mathematik ist klar", meinen Sie vermutlich das folgende Standardargument: Überlegen Sie$\|\vec\sigma_1 + \vec\sigma_2\|^2 = \|\vec\sigma_1\|^2 + 2~ \vec \sigma_1\cdot\vec\sigma_2 + \|\vec\sigma_2\|^2$, Wir wissen das$\sigma^2$Eigenwerte gehen wie$\hbar^2 \ell(\ell + 1)$damit wir erwarten sollten:

$$\langle \vec \sigma_1\cdot\vec\sigma_2\rangle = \frac{\hbar^2}{2}\Big(s_{12}(s_{12} + 1) -s_1(s_1 + 1) - s_2(s_2 + 1)\Big),$$ und mit diesen beiden$s_{1,2}$Sind$1/2$gibt $$\langle \vec \sigma_1\cdot\vec\sigma_2\rangle = \hbar^2\Big(\frac{s_{12}(s_{12} + 1)}2 - \frac34\Big),$$ also sehen wir entweder$1 - 3/4 = +1/4$oder$0 - 3/4 = -3/4$für diese beiden. Ist das ungefähr richtig? Dann ja, ich kann sicherlich verstehen, warum dieser Ausdruck aus dem Nichts zu kommen scheint!

Jetzt denken wir mit Portalmatrizen

Eine alternative Möglichkeit, dies zu verstehen, besteht darin, sich die Matrixdarstellung anzusehen. Unter Verwendung der Pauli-Matrizen und des Kronecker-Produkts ist dieses Skalarprodukt gerecht

$$\begin{align}\sigma_x\otimes\sigma_x &+ \sigma_y\otimes\sigma_y + \sigma_z\otimes\sigma_z \\&= \begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0&0&0&-1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\-1&0&0&0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}\\&=\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-1&2&0\\0&2&-1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}.\end{align}$$ wo die Überlagerung$a|\uparrow\uparrow\rangle + b|\uparrow\downarrow\rangle + c |\downarrow\uparrow\rangle + d|\downarrow\downarrow\rangle$wird zum Spaltenvektor$[a~~b~~c~~d]^T$. Und wahrscheinlich können Sie dies im Schlaf diagonalisieren und die vier Eigenwerte sehen$1, 1, 1, -3,$mit den vier Eigenvektoren$|\uparrow\uparrow\rangle,~~|\downarrow\downarrow\rangle,~~|\uparrow\downarrow\rangle + |\downarrow\uparrow\rangle,~~|\uparrow\downarrow\rangle - |\downarrow\uparrow\rangle.$Außerdem kann ich Ihnen ein intuitiveres Gefühl für diesen Mittelbegriff vermitteln, nämlich das Wenn$|\rightarrow\rangle = \sqrt{1/2}\big( |\uparrow\rangle + |\downarrow\rangle\big)$in unseren Koordinaten dann$|\rightarrow \rightarrow\rangle,$was offensichtlich "Spin-1" ist, muss eine Überlagerung dieser "offensichtlich Spin-1" sein$|\uparrow\uparrow\rangle,~~|\downarrow\downarrow\rangle$plus diesen mittleren Begriff, so dass dieser mittlere Begriff auch "offensichtlich Spin-1" sein sollte.

Die Triplett-/Singulett-Entartung kommt also von diesen wirklich niedrigen Regeln der Quantenmechanik, die besagen, dass, wenn ein Teilchen vollständig "spin-up" ist, das bedeutet, dass es halb "spin-links" und halb "spin-rechts" und halb "spin-" ist. vorwärts" und die Hälfte "spin-backwards", weil sein totaler quadratischer Drehimpuls$\hbar^2~\ell(\ell + 1)$größer ist als sein Drehimpuls in seiner Hauptrichtung$\hbar~m.$Abgesehen davon, dass eine Ein-Elektronen-Überlagerung von Spin-up und Spin-down uns alle Richtungen auf der Kugel gibt, kommt dies auch darauf zurück, dass die vier Zwei-Elektronen-Überlagerungen 3 Zustände haben, in denen sich die Spins ausrichten, und einen Zustand wo die Spins entgegengesetzt sind. Ich kann bei diesen Spin-Operatoren nicht viel grundlegender werden, weil sie von Natur aus schwer konkret zu visualisieren sind , das ist ein Teil dessen, warum QM so schwierig ist!

Maßwerk als Zauberei

Okay, kehren wir jetzt zu meiner beabsichtigten Antwort zurück: Dieser "Singlet-Zustand" mit antiparallelem Spin hat einen dreimal stärkeren Eigenwert als die Zustände mit parallelem Spin. Sie können dies oben offensichtlich selbst sehen: Aber ich sagte, das liegt daran, dass Sie den Eigenwert gleichmäßig auf die drei Parallelspin-Zustände verteilen müssen; was zum Teufel bedeutet das?

Nun, ungefähr 80 % der Quantenmechanik ist lineare Algebra in lustigen Hüten, und deshalb werde ich Sie jetzt einladen, sich an dieses Konzept der Spur aus der linearen Algebra zu erinnern, wo wir beide entdeckten, dass die Spur Linearitäts- und zyklische Permutivitätsgesetze hat; es ist daher für alle ähnlichen Matrizen gleich: und daher ist die Spur schockierenderweise die Summe der Eigenwerte . Da ein Eigenvektor eines Kronecker-Produkts$A\otimes B$wird ein Vektor sein$|\lambda_A,\lambda_B\rangle$Sie werden alle Paarungen erhalten, also eigentlich die Spur von$A \otimes B$wird die Spur von sein$A$mal die Spur von$B$.

Nun, die Pauli-Matrizen sind alle spurenfrei, und das ist ein einfaches Ergebnis der Paritätssymmetrie in unserer Welt, der Annahme, dass sich die Dinge in keiner Dimension mehr drehen als in der entgegengesetzten Richtung, sodass die Eigenwerte alle wie folgt sind$\pm \lambda$Paare. Als Ergebnis all dieser Matrizen$\sigma_i\otimes\sigma_i$sind ebenfalls spurenfrei und damit ihre Summe$\vec\sigma_1\cdot\vec\sigma_2$müssen ebenfalls spurenfrei sein.

Was ist nun die Spur? Hier ist es eine Summe

$$\operatorname{Tr} X=\langle \uparrow\uparrow|X|\uparrow\uparrow\rangle + \langle \uparrow\downarrow|X|\uparrow\downarrow\rangle + \langle \downarrow\uparrow|X|\downarrow\uparrow\rangle + \langle \downarrow\downarrow|X|\downarrow\downarrow\rangle,$$ was, wenn Sie durch 4 dividieren, nur der erwartete Wert von "Ich werde 2 Münzen werfen und durch diesen Mechanismus eine beliebige Spin-Konfiguration wählen und das System in diese entsprechende Spin-Konfiguration blockieren" ist.

Der spurlose Aspekt davon$\vec\sigma_1\cdot\vec\sigma_2$Der Operator sagt wirklich: "Diese Modifikation des Hamilton-Operators muss im Durchschnitt verschwinden, wenn wir diese Prozedur zum Auswählen der Spin-Konfiguration nach dem Zufallsprinzip durchführen", und Sie können irgendwie sehen, dass er das tun muss, das ist die Art eines Begriffs, der keine wirkliche Richtung hat. Aber die Basisunabhängigkeit der Spur bedeutet, dass man diese Argumentation nun auf den Singulett/Triplett-Fall übertragen kann: "Wenn ich zufällig eine dieser 4 Konfigurationen wähle, muss ich im Mittel nur die Energie des Niveaus zurückgewinnen: aber das stört diese Energie, sie muss sich ausgleichen."

Und in diesem Sinne die 3 Ebenen, die eine Energiesteigerung sehen$+\epsilon$muss mit derjenigen übereinstimmen, die eine Energieabnahme aufweist$-3\epsilon$Wenn Sie also zufällig eine Spinkonfiguration auswählen, erhalten Sie eine durchschnittliche Energieänderung von 0.