Warum ist die Raumzeit vierdimensional?

Alle vier Dimensionen sind in beiden Beispielen vorhanden. Wenn Sie sagen, dass die Raumzeit vierdimensional ist, meinen Sie lediglich, dass Sie vier Zahlen benötigen, um zu beschreiben, wann und wo ein Ereignis stattfindet.

Der Weg eines Teilchens ist eine Reihe solcher Ereignisse – der Ball befindet sich einen Zoll über meiner Hand, der Ball befindet sich zwei Zoll über meiner Hand, der Ball befindet sich auf seiner Spitze, er befindet sich zwei Zoll über meiner Hand usw.

Das Neue an der Beschreibung der beiden Referenzrahmen, die Sie verwenden, ist, dass sich der Ball in einem nur vertikal und zeitlich bewegt, während er im zweiten auch eine horizontale Komponente in seiner Bewegung hat.

Beachten Sie, dass es in Ihrem Trainingsball-Beispiel vorkommen kann, dass die Bewegung eines Objekts in einem bestimmten Frame beispielsweise auf eine gerade Linie beschränkt ist und dass die Bewegung in einem anderen Frame komplizierter ist, aber es gibt keine Frame, in dem die Bewegung des Balls plötzlich "räumlich" wird$n$-dimensional" für einige$n>3$. Das Wechseln der Frames bedeutet nur, dass die Bewegung des Balls durch den dreidimensionalen Raum anders dreidimensional aussieht. Anders gesagt,

Die Anzahl der Dimensionen, die ausreicht, um die räumliche Position eines Teilchens gemäß einem einzelnen Trägheitsbeobachter zu beschreiben, beträgt genau drei.

Wenn man zur Relativitätstheorie übergeht, ist eine analoge Aussage wahr;

Die Anzahl der Dimensionen, die ausreicht, um die raumzeitliche Position eines Teilchens gemäß einem einzelnen Trägheitsbeobachter zu beschreiben, beträgt genau vier.

Was den Viererimpuls und andere solche Vektoren betrifft, kann es der Fall sein, dass in einem bestimmten Rahmen eine der Komponenten des Vektors verschwindet; Frame-Änderungen ändern die Werte von Vektorkomponenten im Allgemeinen, aber es fügt niemals auf magische Weise eine zusätzliche Komponente hinzu. Die grundlegende 4-dimensionale Beschreibung bleibt für alle Beobachter ausreichend.

Um das, was die anderen Antworten bereits sagen, anders zu formulieren:

Raum und Zeit zusammen waren schon vor der Relativitätstheorie immer 4-dimensional. Es wurde verstanden, dass es 3 Raumdimensionen und 1 Zeitdimension gibt.

Die Physik vor der SR ging jedoch davon aus, dass die Zeit auf universelle Weise für alle Orte und alle Referenzrahmen auf die gleiche Weise verlief. Infolgedessen könnte man sagen, dass sich Objekte „durch die Zeit bewegen“ und eine „Zeitkoordinate“ dafür haben, wann ihnen etwas passiert ist, aber diese Information kann oft vernachlässigt werden. Das heißt, das Wechseln von Referenzrahmen würde die räumliche Beschreibung von Ereignissen ändern, aber niemals die zeitliche Beschreibung, also warum sich darüber Gedanken machen?

Als die Relativitätstheorie aufkam, bestand die entscheidende Veränderung im Denken nicht nur darin, die Zeit in Beschreibungen von Dingen aufzunehmen. Vielmehr ging es darum , einen 4-Vektor beim Verschieben von Bezugsrahmen in einen anderen umzuwandeln.

• Sie könnten die naive Sache machen und einfach eine lineare Transformation der räumlichen Komponenten entsprechend der Geschwindigkeit des neuen Frames relativ zum alten durchführen und die Zeit unberührt lassen. Dies wäre eine galiläische Transformation .
• Oder Sie könnten eine kompliziertere Regel anwenden – insbesondere die der Lorentz-Transformation – die von Natur aus Raum und Zeit verwechselt.

Es stellt sich heraus, dass die Natur der zweiten Wahl folgt, und das beschreibt genau, was passiert. Ohne alle 4 Dimensionen zu nutzen, fehlt oft etwas.

Ihre Frage könnte durch reine Algebra beantwortet werden: die relative Bewegung eines n-dimensionalen Objektpunkts$y$in Bezug auf einen n-dimensionalen Referenzrahmen$x$wird in seiner allgemeinsten Form durch das bilineare äußere Produkt (der Jacobi) eines n-dimensionalen Differentialoperators mit den Koordinaten des Objektpunkts beschrieben:$\frac{d}{dx} \otimes y$. Dieser Jacobi ist ein$n\times n$Matrix, sollte aber Teil desselben n-dimensionalen Raumes sein wie die Vektoren, sonst wäre die Bewegung einer Bewegung keine Bewegung mehr. Wir brauchen also einen Raum, in dem ein bilineares vollständiges Vektorprodukt existiert, so dass$\frac{d}{dx} \otimes y = z$, wobei$x$,$y$, Und$z$Vektoren desselben Raums sind, und wobei die Länge des Produkts zweier Vektoren gleich dem Produkt der Längen der Vektoren ist. Wie A. Hurwitz 1898 zeigte, gibt es nur vier mögliche Räume mit diesen Eigenschaften, bemerkenswerterweise die reellen Zahlen$\mathbb{R}$(Trivialfall); die komplexen Zahlen$\mathbb{C}$; die Quaternionen$\mathbb{H}$, und die Oktonionen$\mathbb{O}$. Abgesehen von den reellen Zahlen$\mathbb{R}$, die anderen Räume haben negative Metriken:$\mathbb{C} (+1,-1)$;$\mathbb{H} (+1,-1,-1,-1)$;$\mathbb{O} (+1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1)$. Die Metrik des Quaternionraums$\mathbb{H}$ist das Maß der Raumzeit. Die spezielle Relativitätstheorie folgt unmittelbar aus dieser Metrik, ebenso wie die Maxwellschen Gleichungen und die Wellennatur jeder Verschiebung in diesem Raum (Grundlagen der Quantenmechanik). Ich habe dazu eine kleine Abhandlung geschrieben: „De la réalité des nombres“, Bulletin de la société Fribourgeoise des Sciences Naturelles, 103 (2014), p. 83-90; online unter:

http://dx.doi.org/10.5169/seals-513866

PS: Man muss dann natürlich davon ausgehen, dass der Lichtäther existiert, aber dass das Experiment von Michelson & Moorley keinen Ätherwind nachweisen konnte, weil es für einen 3-dimensionalen euklidischen Raum mit Metrik konzipiert wurde$(+1,+1,+1)$. Der Äther weht herein$(+1,-1,-1,-1)$Raum zeigt sich eher als elektrische und magnetische Felder! Es gibt mehr Kräfte in der Teilchenphysik als nur die elektromagnetische, aber die Raumzeit in diesen kleinen Dimensionen ist wahrscheinlich 8-dimensional mit Metrik$(+1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1)$. Die Frage, warum sich die zusätzlichen Dimensionen und Kräfte nicht auf der makroskopischen Skala zeigen, liegt außerhalb des gegenwärtigen Rahmens.

@JerrySchirmer: Ich bin fast da. Mein Problem ist, dass es mir schwer fällt, etwas zu begreifen, wenn ich es nicht konzeptualisieren kann, obwohl dies vielleicht nicht konzeptualisiert werden kann, sondern einfach akzeptiert wird. In diesem Fall danke ich Ihnen für Ihre Geduld. Das Problem, mit dem ich jetzt in meinem irreführenden „konzeptuellen“ Verstand konfrontiert bin, ist, dass ich, wenn Sie „Dilatationen und Längenkontraktionen“ sagen, nicht anders kann als zu denken, dass in Wirklichkeit so viele andere Dinge mit der Zeit passieren als Dehnungen und Kontraktionen . Wenn wir die Verzerrung der Raumzeit beobachten, sehen wir, wie sowohl Raum als auch Zeit auf fantastische Weise aus der Form gebogen werden. Die Zeit wird nicht nur erweitert, sondern „zertrümmert“ und „verzerrt“ und gekrümmt. Tatsächlich "wirbelt" in Einsteins Definition der Schwerkraft die Raumzeit zum Zentrum großer Massen, weil die Masse buchstäblich Zeit und Raum verzerrt. Per Definition ist das ein dreidimensionaler Prozess.

Um einen Punkt auf einer Linie zu beschreiben, benötigen wir eine Zahl. Um einen Punkt auf einer Kurve zu beschreiben, brauchen wir zwei Zahlen. Um einen Punkt auf einer "gekrümmten Kurve" wie eine Spirale zu beschreiben, benötigen wir drei Zahlen (je eine für die Komponenten Höhe, Breite und Tiefe). Bewegt sich der Weg auf einer eindimensionalen Zeitspur, also entlang einer „Zeitlinie“, bräuchten wir eine vierte Zahl, um seine zeitliche Lage zu beschreiben. Aber wenn sich der Pfad durch die Zeit krümmt, dann gibt es auch eine horizontale Komponente der Zeit, wie kommt es also, dass wir nicht 2 Zahlen brauchen, um einen Punkt auf dieser gebogenen Spur aufzuzeichnen? Nochmals, ich entschuldige mich für die hartnäckige Fantasie.

Einstein spricht von der Krümmung der Zeit. Hier ist mein Hauptwunsch: Bitte erklären Sie mir einfach, wie es möglich ist, einen Punkt auf einem gekrümmten Pfad mit einer Zahl darzustellen.

Gibt es für mich eine Möglichkeit, einen solchen Prozess konzeptionell zu verstehen, oder muss ich ihn einfach hinnehmen?

Aber auch, wie Einsteins Definition der Gravitation zeigt, verzerrt Masse sowohl Raum als auch Zeit dreidimensional. Bildete er sich nicht ein, dass sich gleichzeitig auch die geschwungene Spur der Zeit krümme? Das heißt, es hat eine vertikale Komponente, eine horizontale Komponente und eine Tiefenkomponente, da es durch die Schwerkraft verzerrt wird. Um also einen Zeitpunkt darzustellen, müssen wir 3 zusätzliche Zahlen haben. 3 für die Position im Raum und drei für die Position in der Zeit. Ich habe also kein Problem damit, die Idee von 5 oder mehr Dimensionen hinter mir zu lassen, obwohl es dann falsch für mich ist, an 3D-Schwerkraftsysteme zu denken, die in größeren 3D-Schwerkraftsystemen enthalten sind, während sie kleinere 3D-Systeme enthalten, wenn ich an die Planeten in einer Sonne denke System in einer Galaxie?

Aber auch hier ist mein Hauptwunsch, dass diese Frage beantwortet wird:

Wenn die Zeit eine Krümmung enthält und wenn ein gekrümmter Pfad mindestens zwei Zahlen erfordert, um aufgezeichnet zu werden, da er eine vertikale Komponente und eine horizontale Komponente hat, wie wird dann die Zeit mit einer Zahl aufgezeichnet?

PS Ich wollte den Kommentarbereich verwenden, um zu antworten, aber es war nicht genug Platz.

Nehmen wir den Anfang Ihrer Frage.

So wie der dreidimensionale Vektor eine Position im Raum lokalisiert,$(x,y,z)$wird auf einen 4-dimensionalen Vektor verallgemeinert$(x, y, z, ct)$das schließt die Zeit ein, wir können die meisten unserer 3-dimensionalen Vektoren auf 4 Vektoren verallgemeinern.

Die drei Dimensionen des Impulses werden$(p_x, p_y, p_z, E/c)$. Die vierte Komponente dieses Vektors ist Energie. Der Kraftvektor wird zu einem 4-Vektor mit Kraft als 4. Komponente.

Drehimpuls ist schwierig. Wenn wir es verallgemeinern, erhalten wir anstelle eines 4-Vektors eine 4x4-Matrix mit 6 eindeutigen Einträgen. Es gibt die ursprünglichen 3 Drehimpulskomponenten und 3 neue Typen.

Wir erhalten eine 4x4-Matrix jedes Mal, wenn Sie ein 'Kreuzprodukt' von zwei 4-Vektoren nehmen.

Die 3 Komponenten des elektrischen Felds und die 3 Komponenten des Magnetfelds kombinieren sich in einer ähnlichen 4x4-Matrix. So auch elektrische und magnetische Dipole.