Warum kann ein System mit einem nach oben konkaven Entropie-Energie-Graphen kein stabiles thermisches Gleichgewicht haben?

ein konkav nach oben gerichteter Entropie-Energie-Graph

Dies ist aus Schroeders An Introduction to Thermal Physics :

Seien A und B ein System, beide mit einem nach oben konkaven Entropie-Energie-Graphen. Die Systeme erreichen ein thermisches Gleichgewicht, wenn sie die gleiche Temperatur haben. Normalerweise wird das Gleichgewicht jedoch nicht stabil sein. Jeder kleine Energiefluss von B nach A führt dazu, dass die Temperatur von B ansteigt, während die Temperatur von A abnimmt. Wir bekommen dann einen Runaway-Effekt, da immer mehr Energie spontan von B nach A fließt. Und wenn die anfängliche Schwankung dazu führt, dass Energie von A nach B fließt, geht der Runaway-Effekt in die entgegengesetzte Richtung.

Wenn B ein großes "Reservoir" ist, dessen Temperatur sich nicht wesentlich ändert, wenn es Energie aufnimmt oder abgibt, führt wiederum jede kleine Energieübertragung von B zu A dazu, dass A kälter wird als B, sodass wir einen Ausreißereffekt erhalten. Das Gleichgewicht kann nur dann stabil sein, wenn System B "normal" und ausreichend klein ist (genauer gesagt, eine ausreichend kleine Wärmekapazität hat), dass eine spontane Energieübertragung von B nach A dazu führt, dass B stärker abkühlt als A . Dann wird A etwas heißer als B und die Energie fließt spontan zurück.

Ich verstehe nicht ... Warum sollte es einen Runaway-Effekt geben? Bei einem Energiefluss von B nach A steigt die Temperatur von B und damit auch die innere Energie von B. Aber wie kann B seine innere Energie erhöhen, wenn es einen Teil seiner Energie verliert??

Antworten (2)

Die im Bild gezeigte Kurve hat die Eigenschaft

∂ 2 S ∂ U 2 > 0

so dass

∂ 2 S ∂ U 2 = − 1 T 2 ∂ T ∂ U > 0

Seit T 2 > 0 , Dies bedeutet, dass

∂ T ∂ U < 0

Das bedeutet, dass in diesem speziellen System die Temperatur zunimmt, wenn wir die Energie verringern, und wenn wir die Energie erhöhen, die Temperatur abnimmt .

Nehmen wir an, dass B und A anfänglich die gleiche Temperatur haben und dass eine Schwankung eine Menge ergibt δ Q des Wärmeflusses von B nach A.

Da B etwas Energie verloren hat, wird seine Temperatur steigen . Da A etwas Energie gewonnen hat, nimmt seine Temperatur ab .

Da nun die Wärmeflussrate zwischen zwei Körpern proportional zur Temperaturdifferenz zwischen ihnen ist , bedeutet dies, dass B etwas mehr Energie auf A überträgt, was zu einer noch größeren Temperaturdifferenz führt.

Sie können sehen, wie dieser Prozess eine positive Rückkopplung erzeugt, die dazu führt, dass B immer heißer wird (während Energie verloren wird) und A immer kälter wird (während Energie gewonnen wird), während der Wärmestrom grenzenlos wächst (1).

Da wir ein solch ungewöhnliches Verhalten nicht beobachten, müssen wir schlussfolgern, dass die meisten der von uns beobachteten thermodynamischen Systeme die entgegengesetzte Eigenschaft haben, dh

∂ 2 S ∂ U 2 < 0

(1) Irgendwann (und idealerweise) wird A den absoluten Nullpunkt erreichen, was seinem Zustand maximaler Energie entspricht, und der Prozess muss anhalten, weil A keine Energie mehr aufnehmen kann. Aber bei diesem letzten Punkt bin ich mir nicht sicher, da komische Dinge passieren, wenn wir nahe am absoluten Nullpunkt sind...

Bei konstanter Lautstärke haben Sie D S = D U T , So D S D U = 1 / T . Wenn wir wieder Derivate nehmen, erhalten wir

D 2 S D U 2 = − 1 T 2 D T D U

Wenn also die Konkavität von S vs. U positiv wäre, müsste die Temperatur mit zunehmender innerer Energie abnehmen. Deshalb ist die Konkavität im Allgemeinen negativ.

Warum kann ein System mit einem nach oben konkaven Entropie-Energie-Graphen kein stabiles thermisches Gleichgewicht haben?
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