Warum können Atome nur bestimmte Lichtfrequenzen absorbieren/emittieren?

Mir ist bewusst, dass die Orbitale von Atomen diskrete Energiespektren haben. Die Energien müssen der Hamiltonschen Eigenwertgleichung des Atoms gehorchen$H|\psi_n\rangle=E_n|\psi_n\rangle$und dies gilt nur für bestimmte Werte von$E$. Was mich verwirrt, ist, dass die zulässigen Eigenwerte zwar diskret sind, sich die Erwartungswerte von Operatoren jedoch häufig kontinuierlich verhalten.

Ein Beispiel wäre die Lamor-Präzession . Spinzustände nehmen diskrete Eigenwerte (oben und unten) aber den Erwartungswert des Spins an$\langle\mathbf{\hat S}\rangle(t)$rotiert kontinuierlich.

Die Absorption eines Photons wird oft wie folgt dargestellt. Wir haben ein Elektron im Zustand$|n\rangle$. Wenn es mit dem Photon interagiert, kann es absorbiert werden und als Ergebnis springt das Elektron ein Energieniveau nach oben:$|n\rangle\rightarrow|n+1\rangle$. Das passiert aber nur, wenn die Energie des Photons der Energiedifferenz entspricht$E_{n+1}-E_n$.

Meine Frage ist also, warum Atome Photonen mit einem Bruchteil dieser Energiedifferenz nicht absorbieren können? Aufgrund der Energieerhaltung würde sich das Elektron nun in einer Überlagerung befinden$\alpha|n\rangle+\beta|n+1\rangle$. Der Erwartungswert der neuen Energie würde dem des absorbierten Photons entsprechen. In diesem Fall würde die Energie des Elektrons mit ansteigen$|\beta|^2$.