Warum können wir die Definition des Systems nicht erweitern, bis der Impuls erhalten bleibt?

Es kommt darauf an, welche Frage Sie stellen. Wenn Sie die Winkelgeschwindigkeit des Stabes wissen möchten, ist die Erhaltung des Drehimpulses viel einfacher zu verwenden, wie Sie angemerkt haben. Selbst wenn Sie daran interessiert sind, welche Kraft der Stift liefert, würde ich denken, dass die Verwendung der Drehimpulserhaltung für den Anfang immer noch gut wäre.

Sie haben Recht, wir können unser System "größer" machen, aber es ist nicht sehr nützlich. Wenn sich der Stab um den Drehpunkt dreht, ändert sich sein linearer Impuls, also ändert sich auch der Impuls der Erde. Während also der lineare Impuls erhalten bleibt, kann sich der Impuls jedes Teils des Systems noch ändern. Es ist nicht "falsch", aber warum mehr arbeiten als nötig? Ich denke, es gibt auch das Problem, dass es schwer zu sagen wäre, wie der lineare Impuls anfänglich auf das Erdstabsystem übertragen wird, da die Kollision nicht sofort erfolgt, der Stab sich also bereits bewegt, die Richtung ändert und auf ihn eingewirkt wird durch den Stift, während der Ball ihn trifft. Ich müsste es zwar noch genauer durchdenken, aber Sie können bereits die Komplexität des Versuchs erkennen, den linearen Impuls zu berücksichtigen.

Das Momentum bleibt immer erhalten. Es ist ein universelles Gesetz der Physik. Aber es auf ein System anzuwenden, das die Erde enthält, ist hier nicht hilfreich, weil Sie den Endimpuls der Erde nicht kennen und den Endimpuls der Erde nicht kennen wollen. Das macht die Impulserhaltung wahr, aber in dieser Situation nutzlos.

Ja, wenn Sie das Problem genau lösen, würde der Impuls des gesamten Systems erhalten bleiben – aber es ist ziemlich kompliziert, das Problem genau zu lösen, und daher verwenden wir eine Annäherung.

Die Annäherung besteht darin, die Erde als unendlich massiv zu betrachten - insbesondere kann sie jede endliche Menge an Impuls aufnehmen / abgeben, ohne eine Geschwindigkeit erreichen zu müssen. Somit beinhaltet die Ontologie in unserer Annäherung die Existenz eines Impulsreservoirs und somit wird der Impuls nicht konserviert. Interessanterweise bleibt aufgrund der gleichen Näherung nicht einmal der Drehimpuls eines Systems erhalten, an dem die Erde beteiligt ist, da eine unendlich massive Erde auch als Reservoir für Drehimpuls fungiert.

Aber die Kehrseite dieser offensichtlichen Bedrohung ist, dass die Erde einfach keine Dynamik mehr hat (was der Zweck der ganzen Annäherung war, um ehrlich zu sein) und wir keine Definition des Systems in Betracht ziehen müssen, das Dynamik zuweist Freiheitsgrade zur Erde - weil sie in dieser Annäherung einfach keine hat. Jetzt behandeln wir nur den Rest des Systems (dh Stab und Ball in Ihrem Beispiel) als unser wahres dynamisches System und behandeln die Erde als die Umgebung, die die Dynamik beeinflusst, aber nicht als Reaktion beeinflusst werden kann.

Nun, für ein solches neu definiertes System, welches Erhaltungsgesetz gilt und welches nicht davon abhängt, wie es mit dem Reservoir (der Erde) interagiert, weil ein Reservoir möglicherweise das System so beeinflussen kann, dass kein Erhaltungsgesetz gelten könnte für das System! Daher müssen wir eine Situation für sich selbst analysieren. Hier, in Ihrem Beispiel, erfolgt die Wechselwirkung der Erde mit dem System durch eine Kraft, die immer durch eine feste Achse verläuft, und daher gilt die Erhaltung des Drehimpulses für unser System um diese Achse. Beachten Sie, dass, da der Impuls nicht erhalten bleibt, auch der Drehimpuls um keine andere Achse erhalten bleibt!