Warum löscht Punkte ∂r˙i∂q˙j=∂ri∂qj∂r˙i∂q˙j=∂ri∂qj\frac{\partial \dot{\mathbf{r}}_i}{\partial \dot{q}_j} = \frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_j} funktioniert?

Ihre Frage ist einer Frage sehr ähnlich, die ich zuvor auf Physics.SE gestellt hatte. Wenn Sie verstehen, wie

$$\mathbf{v}_i \equiv \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}_i}{\mathrm{d}t} = \sum_k \frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_k}\dot{q}_k + \frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial t}$$

erhalten wird, ist es von da an relativ einfach. Deutlich$\mathbf{v}_i$ist eine Funktion von$q_k$,$\dot{q_k}$und$t$. Also ich kann schreiben:

$$\mathbf{v}_i \equiv \mathbf{v}_i(q_k, \dot{q_k}, t)$$

Wenn ich behandeln würde$q_k$und$\dot{q_k}$als unabhängige Variablen, stellt sich heraus, dass ich einige sehr schöne Ausdrücke bekomme. Also weiter mit$q_k$und$\dot{q_k}$als unabhängige Variablen, wenn ich differenzieren würde$\mathbf{v}_i$wrt$\dot{q_j}$, würde ich erhalten:

$$\frac{\partial\mathbf{v}_i}{\partial\dot{q_j}} = \sum_k \frac{\partial^2\mathbf{r}_i}{\partial\dot{q_j}\partial q_k}\dot{q_k}+\sum_k\frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_k}\frac{\partial\dot{q}_k}{\partial \dot{q_j}} + \frac{\partial^2\mathbf{r}_i}{\partial\dot{q_j}\partial t}$$

Da die Reihenfolge der partiellen Ableitungen im ersten und dritten Term geändert werden kann, wird dies zu:

$$\frac{\partial\mathbf{v}_i}{\partial\dot{q_j}} = \sum_k \frac{\partial}{\partial q_k}\left(\frac{\partial\mathbf{r}_i}{\partial\dot{q_j}}\right)\dot{q_k}+\sum_k\frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_k}\frac{\partial\dot{q}_k}{\partial \dot{q_j}} + \frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial\mathbf{r}_i}{\partial\dot{q_j}}\right)$$

Aber$\mathbf{r}_i \equiv \mathbf{r}_i(q_k,t)$hängt nicht explizit von ab$\dot{q_k}$. Somit reduziert sich der erste und der letzte Term auf Null. Und der einzige Nicht-Null-Term in der zweiten Summe wäre wann$k=j$. Daher,

$$\frac{\partial\mathbf{v}_i}{\partial\dot{q_j}} = \frac{\partial\mathbf{r}_i}{\partial q_j}$$

Der Kern des Problems liegt in den Variablen, die Sie als unabhängig wählen.

Die Koordinaten im Konfigurationsraum sind$r_i$, und auf dem Positions-Geschwindigkeits-Raum sind$r_i,v_i$. Die Transformation erzeugt die neuen Koordinaten$q_i,\dot{q}_i$, und aus der Kettenregel

$$\dot{q}_i = {\partial q_i \over \partial r_i } v_i$$

Die Mengen${\partial \dot{q}_i \over \partial v_j}$in der notation des textes bedeutet folgendes: wenn ich die position fixiere und die geschwindigkeit ändere, wie verändert sich die geschwindigkeit in der$q$Koordinaten ändern? Die Antwort ist die lineare Transformation, die durch die obige Kettenregel gegeben ist – es ist by${\partial q_i \over \partial r_i}$. Wenn Sie die Position fixieren und die Geschwindigkeit ändern, wie parametriert durch$\dot{q}_i$, die Änderung der Geschwindigkeit in v-Koordinaten ist durch die inverse Matrix der linearen Transformation, oder${\partial r_i \over \partial q_i}$.

Es spielt keine Rolle, dass dies eine Geschwindigkeit ist – es kann jede infinitesimale Verschiebung des Teilchens sein, das Transformationsgesetz ist immer durch die Jacobi-Matrix der Karte zwischen den Koordinaten. Das ist so klar, dass es besser wäre, nie zu schreiben${\partial v_i\over \partial\dot{q}_i}$im Text nur ein Symbol haben, weil es nur eine Karte und nur eine Jacobi-Matrix gibt.