Warum nehmen wir an, dass das Potential in der Schrödinger-Gleichung zeitunabhängig ist?

In fast jedem Text, den ich lese (online oder in Papierform), wenn sie die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung behandeln, sehe ich etwas in der Art von „Wir gehen immer davon aus, dass das Potenzial unabhängig von der Zeit ist“. Warum ist das? Gibt es nicht viele Umstände, in denen dies nicht gilt? Werden die meisten Experimente nicht mit unterschiedlichen Potentialen durchgeführt (NMR zum Beispiel, das Magnetfeld, das das Potential beeinflusst, ändert sich mit der Zeit)? Wird diese Annahme in Lehrbüchern nur aus pädagogischen Gründen gemacht, um das Leben zu erleichtern?

Wenn wir diese Annahme nicht treffen, dann scheint mir, dass die Schrödinger-Gleichung nicht mehr trennbar ist und wir den Zeitentwicklungsoperator nicht mehr wie üblich anwenden können (und die zeitunabhängige Gleichung nicht mehr gültig ist) .

Vielleicht tangential zur Hauptfrage, aber: Wenn wir es numerisch lösen wollen, können wir es meiner Meinung nach auch nicht mit Split-Step-Fourier-Transformationen oder in eine von Runge-Kutta behandelte Form vereinfachen. Ist das richtig? Ich interessiere mich besonders für die Erforschung der numerischen Analyse, aber ich denke, ich sollte diese Frage in der Scientific Computing SE posten.

Wenn ich „Potential“ sage, meine ich das natürlich v ( R → , T ) in der Gleichung

ich ℏ ∂ ∂ T Ψ ( R → , T ) = [ − ℏ 2 2 M ∇ 2 + v ( R → , T ) ] Ψ ( R → , T )
und die Annahme, deren Begründung ich nicht verstehe, ist v ( R → , T ) = v ( R → ) .

Aus Neugier, was bedeutet "tangential zu einer anderen Frage"? Ist es nur eine ausgefallene Art zu sagen, dass es eine Beziehung gibt, oder bedeutet es, dass die Beziehung zwischen den beiden Fragen spezifisch ist, und wenn ja, wie?
Ich meine nur, die Frage nach der numerischen Analyse hängt oberflächlich mit meiner Hauptfrage zusammen. Ich wollte es fragen, aber ich bin mir nicht sicher, ob dies der richtige Ort ist - ich würde jedoch erwarten, dass dies der richtige Ort für den Rest der Fragen ist.
Verwandte (vielleicht sogar Duplikate): physical.stackexchange.com/q/17768

Antworten (1)

Es gibt viele Situationen, in denen das Potenzial von der Zeit abhängt. Der Hauptgrund, warum Sie sie nicht gesehen haben, ist wahrscheinlich, dass Sie nicht an den richtigen Stellen gesucht haben.

Allerdings gibt es in der Tat eine klare Trennung zwischen dem statischen und dem zeitabhängigen Anteil des Potentials. Bei der überwiegenden Mehrheit der Experimente, bei denen wir eine zeitabhängige Sonde verwenden, um mit dem System zu interagieren, ist die Sonde extrem schwach (um mehrere Größenordnungen) im Vergleich zum natürlichen Hamiltonian des Systems. Dies bedeutet, dass es am besten mit der Störungstheorie behandelt wird, sodass die beste Strategie darin besteht, die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung für den dominierenden strukturellen Teil des Hamilton-Operators (der im Allgemeinen nicht von der Zeit abhängt) zu lösen und sich dann um die Sonde zu kümmern.

Darüber hinaus wird aus verschiedenen Gründen eine große Anzahl von Experimenten durchgeführt, bei denen oszillierende Potentiale verwendet werden, die sehr nahe an monochromatischen liegen. Für diese Potenziale ist es oft möglich, zu einem „rotierenden Rahmen“ überzugehen, in dem die Hamilton-Interaktion effektiv statisch wird, was die Analyse viel einfacher macht.

Dennoch gibt es viele Situationen, in denen nichts davon gilt, insbesondere wenn die Sonde stark genug ist, um aus dem Störungsregime herauszukommen. Aber selbst dann ist es immer noch wichtig, die Struktur des Systems (dh die Eigenzustände des wechselwirkungsfreien Hamiltonoperators) zur Hand zu haben, da sie im Allgemeinen wichtige Teile der Analyse sind, auch wenn sie bei der Lösung keine explizite Rolle mehr spielen die TDSE.

Wenn Sie sich eingehender mit diesen Themen befassen möchten, empfehle ich David Tannors Quantum Mechanics: A Time-Dependent Perspective .

Und schlussendlich,

Wenn wir es numerisch lösen wollen, können wir es meiner Meinung nach auch nicht mit Split-Step-Fourier-Transformationen oder in eine von Runge-Kutta gehandhabte Form vereinfachen. Ist das richtig?

Nein, ist es nicht. Zeitabhängige Potentiale sind mit den üblichen numerischen Methoden perfekt lösbar. Sie brauchen vielleicht ein wenig Feinabstimmung, aber nicht mehr.

Richtig, natürlich hatte ich vergessen, zeitabhängige Störungen zu untersuchen. Können Sie einige Beispiele nennen, bei denen sich die Sonde außerhalb des Störungsbereichs befinden würde (oder nur ein System, das ohne Störungstheorie untersucht werden könnte)? Was numerische Methoden betrifft, sehe ich nicht, wie man zB Runge-Kutta verwendet, da ich verstehe, dass RK4 Gleichungen der Form löst ∂ T Ψ = F ( X , Ψ ) aber jetzt haben wir F ( X , T , Ψ ) seit v kommt drauf an T zusätzlich zu X .
Gute Beispiele aus meinem Nacken des Waldes sind die Erzeugung von Harmonischen höherer Ordnung und die Ionisierung über dem Schwellenwert im Tunnelregime. Zweifellos gibt es noch andere.
In Bezug auf numerische Methoden: Zweifeln Sie ernsthaft daran, dass der TDSE numerisch gelöst werden kann? Wenn Ihnen nur eine eingeschränkte Klasse von Runge-Kutta-Lösern gezeigt wurde, suchen Sie nach einem Text, der sich mit breiteren Varianten der Methode befasst. Diese Google-Suche ist ein guter Ausgangspunkt – der Methodenzoo für zeitabhängiges QM ist viel zu umfangreich, um ihn hier zu erwähnen. Nahezu jede Methode hier außer Eigenwertmethoden kann für zeitabhängige Probleme verwendet werden.
Nein, natürlich bezweifle ich nicht, dass es numerisch gelöst werden kann; verstehe nur nicht, wie die Standardmethoden angewendet werden, was für mich RK bedeutet (ich habe sehr begrenzte numerische PDE-Erfahrung). Danke für die Ressourcen.
Warum nehmen wir an, dass das Potential in der Schrödinger-Gleichung zeitunabhängig ist?
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