Warum sind die Wirkungsquerschnitte von Neutrinos und Antineutrinos unterschiedlich?

Es ist "einfach" zu zeigen, dass der Wirkungsquerschnitt der 2 Reaktionen:

$$(1)~~~\nu_{\mu} + d \to \mu^- + u~~~~~~(2)~~~\bar{\nu}_{\mu} + u \to \mu^+ + d$$ sind anders. Die naive Berechnung ergibt einen Faktor $\sigma_1/\sigma_2 = 3$Wie nachfolgend dargestellt. Dass die Zahl in der Teilchendatengruppe eigentlich fast den Faktor 2 ergibt, muss der Strukturfunktion des Nukleons Rechnung tragen.

Überprüfen wir also zuerst den Faktor 3 und erklären warum: Vernachlässigung aller Massen von Fermionen, also Annahme einer Energie, die groß genug, aber immer noch vernachlässigbar ist in Bezug auf die$W$Bosonen sind die Amplituden der beiden Prozesse:

$$\mathcal{M}_1=\frac{G_F}{\sqrt{2}}[\bar{u}_u \gamma^{\mu}(1-\gamma^5)u_d][\bar{u}_{\mu} \gamma_{\mu} (1-\gamma^5)u_{\nu}]$$ $$\mathcal{M}_2=\frac{G_F}{\sqrt{2}}[\bar{u}_d \gamma^{\mu}(1-\gamma^5)u_u][\bar{v}_{\nu} \gamma_{\mu} (1-\gamma^5)v_{\mu}]$$ Wo $G_F$die Fermi-Kopplungskonstante und ist $u$, $v$die Spinoren für Teilchen und Antiteilchen. Der Cabibbo-Winkel wurde vernachlässigt ( $\cos \theta_c =1)$. Die Unterschiede zwischen den 2 Amplituden hängen mit dem Vorhandensein von Anti-Spinoren zusammen $\mathcal{M}_2$anstelle von Spinoren wie in $\mathcal{M}_1$. Beachten Sie zunächst, dass bei Anti-Spinoren das ankommende Anti-Teilchen auf der linken Seite des erscheint $\gamma^\mu$Matrix, während sich bei Spinoren das ankommende Teilchen auf der rechten Seite befindet. Dies wird die Quelle der sein $u$Mandelstam-Variable, die nach dem Quadrieren/Mitteln der Amplitude erscheint $\mathcal{M}_2$unter. Zweitens, und das ist die Hauptsache, $(1-\gamma^5)$ist ein Chiralitätsprojektor (modulo Faktor 2). Das ist das $(1-\gamma^5)$Matrix, die für die chirale Natur der schwachen Wechselwirkung verantwortlich ist. Wenn es auf einen Spinor angewendet wird, selektiert es chirale linkshändige Teilchen, während es, wenn es auf einen Anti-Spinor angewendet wird, chirale rechtshändige Antiteilchen selektiert. Wir werden die Folgen ein paar Zeilen weiter unten sehen.

Quadrieren der Amplituden, Mittelung über den Spin des Ausgangsquarks und Summierung über die Spins des Ausgangsquarks und Lepton ergibt:

$$|\overline{\mathcal{M}}_1|^2 = 16 G_F^2 s^2$$ $$|\overline{\mathcal{M}}_2|^2 = 16 G_F^2 u^2$$ Wo $s$Und $u$sind die 2 Mandelstam-Variablen. (Bezeichnung durch $p_1,p_2$die 4 Impulse der 2 Teilchen im Anfangszustand und $p_3,p_4$die der 2 Teilchen in den Endzuständen haben wir $s=(p_1+p_2)^2$Und $u=(p_1-p_4)^2$). Verwenden einer bekannten Formel für den differentiellen Wirkungsquerschnitt $\frac{d\sigma}{d\Omega}=\frac{1}{64\pi^2 s} |\overline{\mathcal{M}}|^2$(gültig in unserer masselosen Näherung, $\Omega$der Raumwinkel im Mittelpunkt des Massenrahmens ist) ergibt: $$\frac{d\sigma_1}{d\Omega}= \frac{G^2_F}{4\pi^2}s$$ $$\frac{d\sigma_2}{d\Omega}= \frac{G^2_F}{4\pi^2}\frac{u^2}{s} = \frac{G^2_F}{16\pi^2}s(1+\cos\theta)^2$$ mit $\theta$der Winkel im Massenmittelpunktrahmen zwischen den $\bar{\nu}_{\mu}$und das $\mu^+$. In diesem Stadium können wir die chirale Struktur der schwachen Wechselwirkung besser einschätzen. In der Tat schwache Wechselwirkung (über geladenen Strom, dh $W$Bosonenaustausch) beinhaltet nur die linkshändige Chiralität von Teilchen und die rechtshändige Chiralität von Antiteilchen. Bei der masselosen Näherung entspricht Chiralität der Helizität, der Projektion des Spins entlang der Impulsrichtung. Das merkt man z $\theta=\pi$, $\frac{d\sigma_2}{d\Omega}=0$. Es hängt mit dieser chiralen Struktur zusammen. Tatsächlich die $\bar{\nu}_{\mu}$muss Rechtshänder sein und die $u$Quark Linkshänder. Somit ist der Spin dieser 2 Teilchen im Rahmen des Massenzentrums in der gleichen Richtung (da sie Rücken an Rücken sind), was eine Projektion auf den ergibt $z$Achse $s_z=1$(oder -1 je nach Ihrer Wahl). Durch die Erhaltung des Drehimpulses, der $s_z$des Endzustandes muss auch sein $s_z = 1$. Aber mit einem Winkel $\theta=\pi$, das bedeutet, dass die $\mu^+$geht in die entgegengesetzte Richtung $\bar{\nu}_{\mu}$. Da hat es das gleiche $s_z$es muss linkshändig sein (da die $\bar{\nu}_{\mu}$war Rechtshänder). An der schwachen Wechselwirkung sind jedoch nur rechtshändige Komponenten des Antiteilchens beteiligt $\mu^+$. Diese Konfiguration kann also nicht notwendigerweise möglich sein, um den Nullquerschnitt in diesem Winkel zu erklären! Wir sehen deutlich den Unterschied zwischen den 2 Reaktionen bei diesem Schritt. Wir können etwas weiter gehen und über den Raumwinkel integrieren, was ergibt: $$\sigma_1 = \frac{G^2_F}{\pi} s$$ $$\sigma_2 = \frac{G^2_F}{3\pi} s$$ Damit haben wir den angekündigten Faktor 3 für das Wirkungsquerschnittsverhältnis auf Quarkebene. Der Übergang vom Quark zum Nukleon ist etwas kompliziert und ich gebe hier nur das Ergebnis an, unter der Annahme, dass ein Ziel aus so vielen Protonen wie Neutronen besteht: $$\sigma_{\nu N} = \frac{G^2_F}{\pi}\frac{s}{2}\int_0^1 x(q(x)+\frac{\bar{q}(x)}{3})dx$$ $$\sigma_{\bar{\nu} N} = \frac{G^2_F}{\pi}\frac{s}{2}\int_0^1 x(\bar{q}(x)+\frac{q(x)}{3})dx$$ die Funktion $q(x)$Und $\bar{q}(x)$die Parton-Verteilungsfunktion (PDF) des Quarks und Anti-Quarks ist. Sie müssen die aus dem Meer stammenden Quarks und Antiquarks (Quantenfluktuationen) innerhalb des Nukleons berücksichtigen. Das PDF muss vermessen werden. Es ist bekannt (gemessen), dass etwa die Hälfte des Protonenimpulses von Quarks (die andere Hälfte von Gluonen) getragen wird, was bedeutet, dass $\int_0^1 x(q(x)+\bar{q}(x)) dx= 0.5$. Der individuelle Beitrag von Quarks und Antiquarks zum Protonenimpuls beträgt etwa: $$\int_0^1 x q(x) dx = 42\%~~~~~ \int_0^1 x \bar{q}(x) dx = 9\%$$ Das Ergebnis der obigen Integrale ist so, dass das Verhältnis der 2 Querschnitte ziemlich nahe bei 2 liegt (statt 3 auf Quark-Ebene).