Warum sind einige Symmetrien für den Lagrange-Konfigurationsraum L(q,q˙,t)L(q,q˙,t)L(q, \dot q,t) unsichtbar?

Wenn Leute über Lagrange sprechen, sprechen sie normalerweise über eine Funktion von Konfigurationsraumvariablen$q_i$und ihre zeitlichen Ableitungen$\dot q_i$. Dies ist eine Funktion$L = L(q_i, \dot q_i,t)$. Es gibt jedoch einen anderen Begriff des Lagrangian, den "Hamiltonian Lagrangian", der ebenfalls eine Funktion von ist$p_i$.

$$L_H(q_i, \dot q_i, p_i,t) = p_i \dot q_i - H(q_i, p_i,t)$$ Der Satz von Noether sagt uns, dass für jede "Off-Shell"-Symmetrie von von$L$(Das sind Transformationen, die sich ändern$L$durch eine Gesamtzeitableitung) haben wir eine Erhaltungsgröße. Es gibt jedoch einige Symmetrien, die nur mit dem Hamiltonian Lagrangeian gesehen werden können$L_H(q_i, \dot q_i, p_i,t)$, und nicht mit dem Konfigurationsraum Lagrange$L(q_i, \dot q_i,t)$. Ein berühmtes Beispiel ist das Verborgene$SO(4)$Symmetrie im Kepler-Problem mit führt zur Erhaltung des Laplace-Runge-Lenz-Vektors. Diese Symmetrie "verwechselt" offenbar die$q$'s und$p$ist so, dass der Lagrange-Konfigurationsraum nicht erfasst werden kann.

Wir könnten also sagen, dass sich Symmetrien mit verwechseln$q_i$Und$p_i$sind im Lagrange-Konfigurationsraum nicht ersichtlich und nennen es einen Tag. Allerdings ergibt diese Antwort bei näherer Betrachtung wenig Sinn. Zum Beispiel die Zeittranslationssymmetrie, erzeugt durch die Erhaltungsgröße$H$, sicherlich "verwechselt$q$Und$p$" und ist dennoch im Konfigurationsraum Lagrange von der Symmetrie her vorhanden$q_i \to q_i + \varepsilon \dot q_i$.

Bedenken Sie außerdem Folgendes: Alle "Off-Shell" -Symmetrien sind Symmetrien der Bewegungsgleichungen. (Die Umkehrung ist nicht wahr.) Dies liegt nur daran, dass, wenn ein Pfad stationär ist, der der Symmetrietransformation unterzogene Pfad ebenfalls stationär sein wird, da die Wirkung des Pfads und aller nahegelegenen Variationen unverändert bleiben. Daher auch das Versteckte$SO(4)$Symmetrie muss eine Symmetrie der Bewegungsgleichungen darstellen (hat wahrscheinlich mit der Änderung der Exzentrizität der Bahn zu tun) und sollte daher als Symmetrie des Lagrange-Konfigurationsraums ausdrückbar sein.

Also, alles in allem, warum sind einige Symmetrien für den Konfigurationsraum Lagrange unsichtbar? Gibt es ein robustes Kriterium, um festzustellen, ob eine Symmetrie auf diese Weise unsichtbar ist?