Warum sollte die Richtung eines Flächenvektors immer entlang der Normalen verlaufen, die auf die Oberfläche gezogen wird? Kann es nicht auch noch ein paar andere Winkel mit dem Flugzeug geben?
Diese Konvention ist äußerst praktisch, wenn Sie Dinge tun, die Physiker oft mögen oder tun müssen, wie z. B. das Berechnen eines Flusses durch eine Oberfläche. Wenn der Flächenvektor senkrecht zur Oberfläche gewählt wird, kann man einfach ein Skalarprodukt verwenden, um zu bekommen, wonach man sucht.
Im Zusammenhang mit Differentialformen erweist sich dies auch als natürliche Definition, da – zumindest im 3-Raum – der Flächenvektor im Wesentlichen ein Kreuzprodukt zweier die Fläche überspannender Vektoren ist.
In diesem Zusammenhang ist dies nur eine natürliche Definition, die sich als nützlich erweist. Beispielsweise ist die Strömungsgeschwindigkeit eines Fluids durch eine Ebene das Skalarprodukt der Fluidgeschwindigkeit mit dem Flächenvektor.
[Es gibt eine mathematisch anspruchsvollere Art, dies zu verstehen, nämlich dass die Vektorfläche in Wirklichkeit ein Bivektor oder eine Zweierform ist. Im dreidimensionalen Raum entspricht dies einem Vektor, aber nicht in allgemeineren Situationen]
Es ist tatsächlich der "beste" Weg, eine Ebene (oder eine Hyperebene) zu definieren, dh die Ebene durch das zu definieren, wo sie nicht ist! Denken Sie darüber nach: Wenn sich ein Flugzeug über den Boden erstreckt, dann reicht es nicht bis zur Decke. Die Richtung vom Boden zur Decke ist also eine eindeutige Richtung, in der das Flugzeug nicht existiert. Da es bei Konventionen um Bequemlichkeit geht, ist dies die bequemste Methode (für die meisten Anwendungen in reiner und angewandter Mathematik / Physik).
Kann es nicht auch noch ein paar andere Winkel mit dem Flugzeug geben?
Sie können die Ebene mit anderen Vektoren als der Normalen definieren, aber es ist viel komplizierter als die Verwendung des Vektors, der in die Richtung zeigt, in die sich die Ebene nicht erstreckt (dies würde Kreuzprodukte beinhalten, wie andere Antworten angegeben haben). Diese Definition einer Ebene im 3D-Raum ist algebraisch, aber es gibt auch geometrische Definitionen (und diese sind natürlich älter als die algebraischen Begriffe), die intuitiver sein könnten.
QMechaniker