Wie ist das Skalarprodukt eine Verallgemeinerung der Multiplikation?

Ich habe eine interessante Erklärung für viele Definitionen gesehen, die ich zuvor für unmotivierte Definitionen in der Newtonschen Mechanik gehalten habe, nämlich dass Kraft immer als Anstrengung mal Fluss definiert wird. Aber wenn Sie versuchen, Leistung in der Dynamik zu definieren, müssen Sie sich offensichtlich mit Vektoren befassen, daher meine Frage: Wie ist das Skalarprodukt die gute Verallgemeinerung der Multiplikation? R zum Weltraum? Warum nicht irgendein anderes inneres Produkt auf R 3 das reduziert sich auf die Multiplikation auf R ? Ich weiß, es ist eine Art kanonisches inneres Produkt R 3 , hat das was damit zu tun?

Die Tatsache, dass es funktioniert, ist Ihnen keine Begründung genug?
Ich empfehle Gabriel Weinreichs Geometrical Vectors , Chicago Lectures in Physics (1998). Er gibt topologische Definitionen, die mehr Intuition bieten. Sie können das kartesische Skalarprodukt durch eine geometrische Analyse einer Projektion ableiten; In 2D ist es fast offensichtlich, aber Sie sollten es selbst herausfinden. Richtungskosinusse sind der Schlüssel.
Ihre Motivation, Physik „um der Mathematik willen“ zu studieren, wird weder der Physik noch der Mathematik gerecht. Das eine hat mit dem anderen absolut nichts zu tun. Die Physik untersucht die Natur und ihre gesamte Ontologie ist experimentell (was Sie nicht interessiert), während die Mathematik versucht, eine Klassifizierung der Struktur zu erstellen, und sie hauptsächlich nach Eigenschaften des Unendlichen fragt, das in der Realität nicht existiert. Mathe ist Kopfschach auf höchstem Niveau, Physik ist down und schmutziges Experimentieren mit Materie. Wenn Sie sich für Mathematik interessieren, schlage ich vor, dass Sie die Physik vergessen, es wird nicht nützlich sein.
@RaphaelPicovschi: Tu mir einen Gefallen und mache das einfachste Experiment in Mathematik für mich: Zähle die natürlichen Zahlen auf. Bis morgen.

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Da steckt ein bisschen mehr Nachdenken dahinter P = F → ⋅ v → als eine verallgemeinerte Multiplikation in 3D. Es gibt sogar Fälle, in denen die Multiplikation mit dem Skalar zu einem Kreuzprodukt wird, wenn 3D-Vektoren verwendet werden. Zum Beispiel Drehmoment T = F R , wird T → = R → × F → . Immer wenn Sie Vektoren in bestehende skalare Gleichungen implementieren, müssen Sie sorgfältig entscheiden, wie Sie "Richtung" in Ihre Gleichung implementieren.

Bei der Leistung ist es wichtig, genau zu überlegen, was Leistung ist: Leistung ist gleich der Kraft multipliziert mit der Geschwindigkeitskomponente in der gleichen Richtung wie die Kraft. Bei reinen 1D-Problemen wirkt die Kraft immer in die gleiche oder entgegengesetzte Richtung, sodass ein Plus- oder Minuszeichen ausreicht, um die Richtung zu berücksichtigen. In höheren Dimensionen ist es komplizierter. Angenommen, wir haben Vektoren für Kraft und Geschwindigkeit F → Und v → . Da es sich bei Dimensionen über 1 um ein Problem handelt, weisen die Kraft- und Geschwindigkeitsvektoren nicht unbedingt die gleiche Richtung. Also, sagen wir mal, ein Winkel θ trennt die beiden Vektoren. Wenn dies der Fall ist, ist die skalare Komponente der Geschwindigkeit in Richtung der Kraft unter Verwendung der Trigonometrie | v → | cos ⁡ θ . Das bedeutet also, dass die Leistung gleich ist:

P = | F → | | v → | cos ⁡ θ

Wenn Sie dann auf die rechte Seite schauen, können Sie sehen, wie es einer Definition des Skalarprodukts entspricht: | A → | | B → | cos ⁡ θ = A → ⋅ B → , mit θ der Winkel zwischen den beiden Vektoren ist. Daher haben wir abgeleitet:

P = F → ⋅ v →

Indem wir also einen Aspekt der Richtung der interessierenden Vektoren berücksichtigen, erhalten wir die Vektorgleichung, anstatt dass das Skalarprodukt eine mathematische Verallgemeinerung der Skalarmultiplikation ist.

Es stimmt, dass es viele Innenprodukte gibt, aus denen Sie wählen können R 3 . Die Physik liefert jedoch das zusätzliche Prinzip der Rotationsinvarianz: Das Ergebnis sollte nicht von unserem Koordinatensystem abhängen. Nun, jedes innere Produkt von Vektoren A Und B kann geschrieben werden als

A ⋅ B = A T M B
für eine Matrix M . Das sagt uns die Rotationsinvarianz M sollte in einem gedrehten Koordinatensystem gleich aussehen, also
M = R T M R
für jede Rotationsmatrix R . Es ist einfach zu zeigen, dass nur eine Matrix diese Bedingung erfüllt: die Identität multipliziert mit einer Konstante. Um korrekt auf den 1D-Fall zu reduzieren, muss die Konstante 1 sein und eindeutig angeben
A ⋅ B = A T B .
Dies ist das Standard-Innenprodukt.

Beachten Sie, dass, wenn wir zulassen, dass das Produkt von Vektoren einen anderen Vektor ausgibt, M wird zu einem Tensor auf Rang 3, und dasselbe Argument zeigt dies M ist der Levi-Civita-Tensor, der das Kreuzprodukt angibt.

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