Warum tritt die Coriolis-Kraft auf, wenn man die Kräfte auf ein Teilchen in Polarkoordinaten herleitet?

Question

Warum tritt die Coriolis-Kraft auf, wenn man die Kräfte auf ein Teilchen in Polarkoordinaten herleitet?

Andreas Paul

Ich betrachtete ein Teilchen in Polarkoordinaten, $(r,\theta)$ , mit Masse $m$ . Die Standardbasisvektoren in Polarkoordinaten sind:

\hat{R} = \cos θ \hat{X} + Sünde θ \hat{j}

$\mathbf{\hat{r}}=\cos{\theta}\mathbf{\hat{x}}+\sin{\theta}\mathbf{\hat{y}}$ Und:

\hat{θ} = \frac{\partial \hat{R}}{\partial θ} = - Sünde θ \hat{X} + \cos θ \hat{j}

$\boldsymbol{\hat{\theta}}=\frac{\partial\mathbf{\hat{r}}}{\partial\theta}=-\sin{\theta}\mathbf{\hat{x}}+\cos{\theta}\mathbf{\hat{y}}$ Differenzieren des Vektors

r

$\mathbf{r}$ zu dem Teilchen zweimal, finden wir Folgendes:

\ddot{R} = (\ddot{R} - R {\dot{θ}}^{2}) \hat{R} + (2 \dot{R} \dot{θ} + R \ddot{θ}) \hat{θ}

$\mathbf{\ddot{r}}=(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)\mathbf{\hat{r}}+(2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta})\boldsymbol{\hat{\theta}}$ Daraus folgt, dass die radiale Kraftkomponente auf dieses Teilchen ist

F_{r} = m (\ddot{r} - r {\dot{θ}}^{2})

$F_r=m(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)$ und die Tangentialkomponente ist

F_{θ} = m (2 \dot{r} \dot{θ} + r \ddot{θ})

$F_\theta=m(2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta})$ .

Ich konnte drei von vier Termen in diesem Gleichungspaar verstehen, indem ich das Teilchen betrachtete, das eine radiale und kreisförmige Bewegung durchmachte (in diesem Fall $\dot{\theta}=0$ Und $\dot{r}=0$ , bzw).

Übrigens aber die $2m\dot{r}\dot{\theta}$ Term ist die Coriolis-Kraft. Aber ist diese Kraft nicht fiktiv und nur in einem nicht-trägen Bezugssystem beobachtbar? Habe ich während dieser Ableitung in einem nicht-trägen Bezugssystem gearbeitet? Macht das, was ich frage, überhaupt Sinn?

Ich denke, ich brauche in erster Linie eine Klärung, wie Trägheits- / Nicht-Trägheitsbezugsrahmen bei dieser Ableitung ins Spiel kommen.

Cinaed Simson

Angenommen, der Radius des Kreises ist

r

$r$ was konstant ist. Dann ist die Tangentialkomponente der Beschleunigung

a_{t} = r \frac{d ω}{d t}

$a_{t}=r\frac{d\omega}{dt}$ Wo

ω = \frac{d θ}{d t}

$\omega=\frac{d\theta}{dt}$ die Winkelgeschwindigkeit ist - und die radiale Komponente der Beschleunigung ist

a_{r} = ω^{2} r

$a_{r}=\omega^{2}r$ .

a_{r}

$a_{r}$ wird auch als Zentripetalbeschleunigung bezeichnet - es ist die fiktive Kraft. Sie wissen, dass Sie sich in einem Nicht-Inertialsystem befinden, wenn der Ursprung Ihres Koordinatensystems die Rotationsachse des Partikels ist, das Sie verfolgen. Ein Trägheitsrahmen bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit und beschleunigt nicht.

Cinaed Simson

Und nur um es klar zu sagen, die Größenordnung von

\hat{r} = 1

$\hat r=1$ , die konstant ist, also

\dot{r} = \ddot{r} = 0

$\dot r=\ddot r=0$ , was ergibt

F_{r} = - m r {\dot{θ}}^{2}

$F_r=-mr\dot{\theta}^2$ Und

F_{θ} = m r \ddot{θ}

$F_\theta=mr\ddot{\theta}$ - Welches sind die richtigen Antworten. Es gibt keine Corioliskraft in 2 Dimensionen - und es gibt auch kein Vektorkreuzprodukt in 2 Dimensionen.

F_{r} = - m r {\dot{θ}}^{2}

$F_r=-mr\dot{\theta}^2$ ist die Zentripetalbeschleunigung - eine fiktive Kraft.

J. Murray

@CinaedSimson Dies sollte eine Antwort sein, kein Kommentar.

Andreas Paul

@CinaedSimson, was ich in Betracht ziehe, ist jedoch nicht unbedingt eine kreisförmige Bewegung. Der Ortsvektor ist

r = r \hat{r}

$\mathbf{r}=r\mathbf{\hat{r}}$ . Die Größe des Standardbasisvektors ändert sich nie, aber

\dot{r}

$\dot{r}$ kann ungleich Null sein, da die Bewegung des Teilchens willkürlich ist und daher radial sein kann.

Antworten (2)

Warum tritt die Coriolis-Kraft auf, wenn man die Kräfte auf ein Teilchen in Polarkoordinaten herleitet?

Angenommen, der Radius des Kreises ist $r$ was konstant ist. Dann ist die Tangentialkomponente der Beschleunigung $a_{t}=r\frac{d\omega}{dt}$ Wo $\omega=\frac{d\theta}{dt}$ die Winkelgeschwindigkeit ist - und die radiale Komponente der Beschleunigung ist $a_{r}=\omega^{2}r$ . $a_{r}$ wird auch als Zentripetalbeschleunigung bezeichnet - es ist die fiktive Kraft. Sie wissen, dass Sie sich in einem Nicht-Inertialsystem befinden, wenn der Ursprung Ihres Koordinatensystems die Rotationsachse des Partikels ist, das Sie verfolgen. Ein Trägheitsrahmen bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit und beschleunigt nicht.
Und nur um es klar zu sagen, die Größenordnung von $\hat r=1$ , die konstant ist, also $\dot r=\ddot r=0$ , was ergibt $F_r=-mr\dot{\theta}^2$ Und $F_\theta=mr\ddot{\theta}$ - Welches sind die richtigen Antworten. Es gibt keine Corioliskraft in 2 Dimensionen - und es gibt auch kein Vektorkreuzprodukt in 2 Dimensionen. $F_r=-mr\dot{\theta}^2$ ist die Zentripetalbeschleunigung - eine fiktive Kraft.
@CinaedSimson Dies sollte eine Antwort sein, kein Kommentar.
@CinaedSimson, was ich in Betracht ziehe, ist jedoch nicht unbedingt eine kreisförmige Bewegung. Der Ortsvektor ist $\mathbf{r}=r\mathbf{\hat{r}}$ . Die Größe des Standardbasisvektors ändert sich nie, aber $\dot{r}$ kann ungleich Null sein, da die Bewegung des Teilchens willkürlich ist und daher radial sein kann.

CR Drost · Answer 1

Das ist eine sehr berechtigte Frage. Die Antwort ist, dass das nicht die Coriolis-Kraft ist, aber sie hängt damit zusammen.

Angenommen, Sie würden nun dasselbe Teilchen in Koordinaten untersuchen, die sich mit Winkelgeschwindigkeit um den Ursprung drehen $\omega$ , dies würde eine Verschiebung durchführen $\dot\theta\mapsto \dot\theta -\omega$ beim verlassen $r, \dot r, \ddot\theta$ unveränderlich. Als Konsequenz würden wir das finden

{\ddot{R}}^{'} = \ddot{R} + 2 ω (R \dot{θ} \hat{R} - \dot{R} \hat{θ}) - R ω^{2} \hat{R} .

$\mathbf {\ddot r}' = \mathbf{\ddot r} + 2 \omega \left(r \dot\theta ~\hat r-\dot r ~\hat \theta\right) - r \omega^2~\hat r.$

Der erste dieser Terme ist die tatsächliche Coriolis-Kraft $-2m~\vec\omega\times\vec v$ . Der letzte Term ist die ebenfalls fiktive Fliehkraft.

Das macht Sinn, danke! Also dann, wenn wir uns vorstellen $\dot{\theta}=0$ (im Trägheitssystem) und ein rotierendes System soll Winkelgeschwindigkeit haben $\omega$ , dann wird die Verschiebung $0\mapsto -\omega$ und daher der Begriff $2m\dot{r}\dot{\theta}$ ist gerecht $2m\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{v}$ , die vom rotierenden Rahmen beobachtete Coriolis-Kraft, wie ich sie jetzt verstehe.

John Darby · Answer 2

In einem Trägheitsreferenzrahmen, der Polarkoordinaten verwendet, haben die radialen und tangentialen Einheitsvektoren (Größe 1) keine feste Richtung und ändern ihre Position, wenn sich der Polarwinkel ändert. Dies führt zu einem Term in der Tangentialbeschleunigung, der manchmal als "Coriolis-Beschleunigung" bezeichnet wird; es erscheint, weil die Einheitsvektoren keine konstante Richtung haben. (Kartesische Einheitsvektoren ändern die Richtung nicht.)

Genauso wie die Coriolis-Kraft einem nicht-trägheitsrotierenden Bezugssystem zugeordnet ist, ist diese „Coriolis-Beschleunigung“ Einheitsvektoren zugeordnet, die sich selbst in einem Trägheitsbezugssystem mit der Position drehen.

Warum tritt die Coriolis-Kraft auf, wenn man die Kräfte auf ein Teilchen in Polarkoordinaten herleitet?

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Cinaed Simson

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J. Murray

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