Wie leitet man den Querneigungswinkel eines Flugzeugs aus seinem Roll- und Nickwinkel ab?

Von Young (2017) ( https://onlinelibrary.wiley.com/doi/book/10.1002/9781118534786 ) heißt es, dass wir den Querneigungswinkel ($\Phi$) eines Flugzeugs als Winkel zwischen seiner Y-Körperachse und der horizontalen Ebene. Er stellt dann die folgende Äquivalenz fest:

$\sin(\Phi)=\sin(\phi)\cos(\theta)$

Wo$\theta$ist der Nickwinkel des Flugzeugs und$\phi$ist sein Rollwinkel. Ich möchte diese Äquivalenz herleiten und dies ist mein bisheriger Versuch, der einen alternativen Ausdruck ergibt:

Ich definiere ein globales Achsensystem$E=(O,X_e,Y_e,Z_e)$Wo$O=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix}$ist der Ursprung des Systems, und$X_e=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix}$,$Y_e=\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix}$Und$Z_e=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix}$sind orthonormale Einheitsvektoren, die Norden, Osten bzw. 'unten' definieren.

Ich definiere auch ein Flugzeugkörper-Achsensystem,$B=(O,X_b,Y_b,Z_b)$, dessen Startorientierung und Position mit übereinstimmt$E$.

Ich rotiere zuerst$B$über die$Y_b$Achse einen Winkel$\theta$, die Nickdrehung, und dann drehe ich dieses gedrehte Körperachsensystem um sein neues$Xb$Achse einen Winkel$\phi$, die Rollendrehung. Die relevanten Rotationsmatrizen sind:

$R_Y(\theta)$=

$$\begin{bmatrix} \cos(\theta) & 0 & \sin(\theta) \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin(\theta) & 0 & \cos(\theta) \end{bmatrix}$$

$R_X(\phi)$=

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos(\phi) & -\sin(\phi) \\ 0 & \sin(\phi) & \cos(\phi) \end{bmatrix}$$

die, wenn sie in der richtigen Reihenfolge angewendet werden, um die im obigen Text beschriebenen Drehungen anzugeben, die zusammengesetzte Matrix ergibt:

$R_Y(\theta)R_X(\phi)=R=$

$$\begin{bmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta)\sin(\phi) & \sin(\theta)\cos(\phi) \\ 0 & \cos(\phi) & -\sin(\phi) \\ -\sin(\theta) & \cos(\theta)\sin(\phi) & \cos(\theta)\cos(\phi) \end{bmatrix}$$

habe ich dann$B2=RB=R$das ist das Körperachsensystem nach den Drehungen.$Y_{B2}= \begin{bmatrix} \sin(\theta)\sin(\phi) \\ \cos(\phi) \\ \cos(\theta)\sin(\phi) \end{bmatrix}$, die y-Achse von B2, und ihre Projektion auf die horizontale Ebene ist$Y_{pB2}= \begin{bmatrix} \sin(\theta)\sin(\phi) \\ \cos(\phi) \\ 0 \end{bmatrix}$. Ich kann dann sagen, dass der Kosinus des Winkels zwischen ihnen der Querneigungswinkel ist$\Phi$, ist das normalisierte Skalarprodukt der beiden Vektoren:

$$\begin{align} \cos(\Phi)=\frac{Y_{B2}\cdot Y_{pB2}}{|Y_{B2}||Y_{pB2}|} \end{align}$$

Bei der Berechnung bleibt mir:

$$\begin{align} \cos(\Phi)=\sin(\theta)\sin(\phi) + \cos(\phi) \end{align}$$

Wobei ich will:

$$\begin{align} \sin(\Phi)=\sin(\phi)\cos(\theta) \end{align}$$

Jeder Rat, wo ich falsch gelaufen bin, wäre sehr dankbar.