Warum und wie wird die nicht entartete Störungstheorie für die Zeitentwicklung unter L⃗ .S⃗ L→.S→\vec{L}.\vec{S}-Kopplung verwendet?

Nehmen wir an, wir beginnen mit einem Elektron, das sich in einem Spin-up-Zustand befindet und eine räumliche Wellenfunktion der Form hat X F ( R ) . Dann schaltet man eine Störung der Form ein U ( R ) L → ⋅ S → ℏ 2 .

  • Nun möchte man wissen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass man den Ausgangszustand nach einiger Zeit immer noch im gleichen Zustand vorfindet T .

Ein paar Schritte zu dem, was ich mir vorstellen kann,

  • die Kupplung schreiben L → ⋅ S → als 1 2 ( J 2 − L 2 − S 2 )

  • Mit der Identifikation von Y 1 ± 1 = | 1 ± 1 ⟩ und man kann die anfängliche Wellenfunktion umschreiben als X F ( R ) ⊗ 1 2 = [ 0,5 8 π 3 R F ( R ) ] { | 1 − 1 ⟩ ⊗ 1 2 − | 11 ⟩ ⊗ 1 2 }

  • man kann sich wahrscheinlich denken, dass es sie gibt 2 mehr Staaten gleichzeitig l = 1 Wert, die von ähnlicher Form sind, aber eine Summe der sind M = ± 1 Staaten und ein anderer ist nur die M = 0 Zustand. (..Ich würde gerne wissen, ob es einen systematischen Weg gibt, diese zu bekommen 3 Zustände, die die Wirkung eines Symmetrieoperators verwenden, der zwischen diesen drei Zuständen rotiert. Ich kann nicht sofort erkennen, was dieser Operator ist, abgesehen von der Tatsache, dass dies nur der ist 3 -Vektordarstellung von S Ö ( 3 ) ..)

  • In der Störungstheorie erster Ordnung würde man den Erwartungswert dieser drei Zustände oben in das Störpotential von nehmen U ( R ) L → ⋅ S → ℏ 2 . Hier, wenn man für einen der oben genannten drei Zustände den Erwartungswert in die nimmt J 2 Operator muss man diese Zustände oben in den umschreiben J Basis wie, | 1 − 1 ⟩ ⊗ 1 2 = 1 3 | 3 2 − 1 2 ⟩ J − 2 3 | 1 2 − 1 2 ⟩ J etc. (..aber um den Erwartungswert in die L 2 und das S 2 Operator kann man mit dem Schreiben als Tensorprodukt des fortfahren l = 1 Und S = 1 / 2 Zustände.

Man findet die 3 Erwartungswerte des Störers L → ⋅ S → Potential in den anfänglich 3 entarteten Zuständen und diese Erwartungswerte sind die Korrekturen erster Ordnung für jene Energien, die diese Entartung spalten.

  • Aber ich würde denken, dass man zur Beantwortung der zuvor gestellten Frage der Wahrscheinlichkeit die (störenden) Eigenzustände des gestörten Potentials finden muss und nur dann die Frage der Zeitentwicklung beantworten kann. Und das ist es, was mir nicht klar ist, wie man das bekommen kann.

Gibt es in der Störungstheorie ein Regime, in dem man sich die 3 anfänglich entarteten Zustände weiterhin als Eigenzustände der neuen 3 aufgespaltenen Energieniveaus vorstellen kann?

  • Ganz ehrlich, ich hätte gedacht, dass man die degenerierte Störungstheorie hätte verwenden und diese Determinante berechnen sollen, um die neuen Energieniveaus zu bestimmen. Aber warum ist die obige nicht entartete Störungstheorie herkömmlich erledigt? L → ⋅ S → Kupplung?
Dies könnte als Antwort zu vereinfacht sein: Sie können die Energieverschiebung der Spin-Bahn-Kopplung berechnen, und durch das Unsicherheitsprinzip (in seiner Grenze) erhalten wir die Zeitverschiebung T damit dies geschieht. Gehe von einer einheitlichen Wahrscheinlichkeit aus, dann ist es so 1 − T / T An Ort und Stelle bleiben?
@ChrisGerig Ich suche nach einer vollwertigeren Quantenberechnung!
Ganz ehrlich, ich hätte gedacht, dass man die degenerierte Störungstheorie hätte verwenden und diese Determinante berechnen sollen, um die neuen Energieniveaus zu bestimmen. Aber warum wird die obige nicht entartete Störungstheorie konventionell für die L⃗ ⋅S⃗-Kopplung gemacht? Ich habe die gleiche Frage, warum verwenden wir keine entartete Störung, da die Energieniveaus vor der Spin-Bahn-Wechselwirkung entartet sind.

Antworten (1)

Sie haben es vermieden, im ersten Schritt degenerierte PT zu verwenden, indem Sie schreiben L . S bezüglich J 2 , L 2 Und S 2 .

Anstatt Eigenzustände der Operatoren zu verwenden L z Und S z , die nicht mit dem gestörten Hamiltonoperator kommutieren, verwenden wir Eigenzustände von J 2 Und J z , die mit pendeln H , weil der Gesamtdrehimpuls J ist klassisch konserviert.

Das bedeutet, dass es eine Menge simultaner Eigenzustände von gibt J 2 , J z Und H - Wir haben das Problem gelöst. Diese Technik funktioniert im Allgemeinen (siehe „Einführung in die Quantenmechanik“ von David Griffiths für einen vollständigen Beweis und eine Diskussion), und es ist eine gute Möglichkeit, die harte Arbeit der degenerierten Störungstheorie zu vermeiden.

Um dann die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, in einem der gestörten Zustände zu sein, vorausgesetzt, dass es sich um einen ungestörten Zustand handelt, müssen Sie nur die Überlappung berechnen ⟨ ψ ' | ψ ⟩
Warum und wie wird die nicht entartete Störungstheorie für die Zeitentwicklung unter L⃗ .S⃗ L→.S→\vec{L}.\vec{S}-Kopplung verwendet?
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