Die Spin-Bahn-Wechselwirkung für einen klassischen magnetischen Dipol, der sich in einem elektrischen Feld bewegt

Die Spin-Bahn-Kopplung ist eine Komponente der Feinstruktur von Atomen, die sich explizit mit der Wechselwirkung des Spins der Elektronen mit ihrem Bahndrehimpuls befasst. Sie kann explizit aus der Dirac-Gleichung abgeleitet werden, indem man die nichtrelativistische Grenze zur subführenden Ordnung einnimmt$1/c$, und es erzeugt einen Begriff im Hamiltonian der Form$H\sim \mathbf L\cdot\mathbf S$, Wo$\mathbf L$Und$\mathbf S$sind die Bahn- und Spindrehimpulse des betreffenden Elektrons.

Neben (oder meistens statt) dieser rigorosen Herangehensweise wird die Form des Spin-Bahn-Wechselwirkungspotentials jedoch oft über ein heuristisches Argument begründet, das ungefähr so ​​aussieht:

Betrachten Sie ein Wasserstoffatom mit einem Elektron, das um den Kern herumsaust, und verwandeln Sie es in einen Rahmen, der auf dem Elektron fixiert ist. Während die Flugbahn des Elektrons den Kern umkreist, sieht das Elektron nicht nur das elektrostatische Feld des Protons, sondern auch einen effektiven Strom, wenn der Kern um ihn herum kreist. Dieser Strom erzeugt dann ein Magnetfeld, das mit dem intrinsischen magnetischen Dipol des Elektrons wechselwirkt.

Dieses Argument ist offensichtlich problematisch, da es in der Quantenmechanik weder eine Elektronenbahn noch einen "elektronenmontierten Rahmen" gibt; Die heuristische Berechnung liefert (eine vernünftige Interpretation für die) richtigen Ergebnisse, aber sie kann nicht zu einem überhaupt sinnvollen Argument erweitert werden.

Daher ist es wirklich reizvoll, ein ähnliches heuristisches Argument auszuarbeiten, das eine Interaktion der Form erzeugt$H\sim \mathbf L\cdot\mathbf S$aus einer Analyse, die am Ruhesystem des Protons stattfindet, und die diese Nachteile nicht aufweist. Dies wurde in einer früheren Frage untersucht, Spin-Bahn-Kopplung vom Ruhesystem des Protons? , und wahrscheinlich in vielen früheren Ressourcen, aber ich habe noch nie gesehen, dass eine solche Analyse zufriedenstellende Ergebnisse liefert.

Mein Ziel hier ist viel bescheidener, in der Hoffnung, dass es zu einem besseren Schuss auf ein klareres physikalisches Bild der Spin-Bahn-Kopplung führen wird.

Betrachten Sie daher einen klassischen magnetischen Dipol$\mathbf m=IA\hat{\mathbf n}$, die aus einer starren Flächenschleife besteht$A$mit Einheit normal$\hat{\mathbf n}$einen Strom tragen$I$, viel kleiner als die räumliche Abhängigkeit von elektrischen oder magnetischen Feldern im Problem. Die Form der Schaltungsschleife sollte für die Ergebnisse irrelevant sein.

Dieser Dipol ist bei zentriert$\mathbf r_c=\mathbf r_c(t)$, die einer im Voraus festgelegten Bahn folgt (Sie können sich vorstellen, dass sie auf einer Schiene montiert und von einem kleinen Motor geschoben wird, obwohl wir später vielleicht auflösen werden$\mathbf r_c(t)$reagiert auf eine Bewegungsgleichung) und durchquert einen Bereich mit einem vordefinierten statischen elektrischen Feld$\mathbf E(\mathbf r)$. Stellen Sie sich als archetypisches Beispiel eine elliptische Umlaufbahn um das Zentrum eines elektrischen Coulomb-Feldes vor.

Der interessierende Freiheitsgrad ist die Ausrichtung des Dipols,$\hat{\mathbf n}=\hat{\mathbf n}(t)$, die einer Trajektorie folgt, die im Prinzip im Voraus festgelegt ist, obwohl wir dies später wiederum einer Bewegungsgleichung folgen lassen könnten.

Dann zu meiner Frage:

• Wie kann man durch ausschließliche Betrachtung des Trägheitssystems des anfänglichen elektrischen Feldes die mit der Orientierung unseres klassischen magnetischen Dipols verbundene Energie ableiten? Im Prinzip sollte dies eine Spin-Bahn-Kopplung der Form erzeugen$\mathbf L\cdot \mathbf m$, Wo$\mathbf L$ist der Bahndrehimpuls der Flugbahn des Dipols$\mathbf r_c(t)$, aber wie kommt dies aus den Wechselwirkungen der bewegten Ladungen innerhalb des Stromkreises mit dem statischen elektrischen Feld?

Und um es abschließend noch einmal klarzustellen: Ja, das ist ein schreckliches Modell für ein Elektron, denn der magnetische Dipol von Elektronen ist ganz und gar nicht auf die Zirkulation elektrischer Ladung zurückzuführen. Trotzdem denke ich, dass diese Analysemethode eine separate Analogie liefern kann, die hoffentlich klarer und weniger problematisch sein kann als die übliche Heuristik "tun wir so, als wäre ein (Trägheits?) Referenzrahmen auf dem Elektron montiert", dh indem ein Modell bereitgestellt wird, das es auch ist (letztlich) falsch, was aber zumindest intern konsistent ist.