Spin-Bahn-Kopplung vom Ruhesystem des Protons?

Wenn wir die Spin-Bahn-Wechselwirkung in einem Wasserstoffatom berechnen, arbeiten wir einfach im Bezugssystem des Elektrons: Das Proton bewegt sich und erzeugt ein Magnetfeld, mit dem der Spin des Elektrons wechselwirkt.

Wir können hier zeigen , dass die Antwort lautet

Δ H = 2 μ B ℏ M e e C 2 1 R ∂ U ( R ) ∂ R L ⋅ S
Wo U ( R ) ist die potentielle Energie = e v ( R ) mit v ( R ) = 1 4 π ϵ 0 e R für ein Proton.

JETZT: Ich möchte die gleiche Antwort aus dem Bezugssystem des Protons erhalten , wo das Proton stationär ist und sich das Elektron bewegt. Da die Physik in allen Bezugsrahmen gleich sein muss, sollten wir die gleiche Antwort bekommen.

Ich denke, dass dies nur passieren kann, wenn das Magnetfeld des Elektrons (aufgrund seiner Bewegung, dh der sich bewegenden geladenen Teilchen) mit dem eigenen Spin des Elektrons interagiert.

Wir können die Stromdichte berechnen J des Elektrons in Wasserstoff, und es ist gegeben durch:

J ϕ = − e ℏ M μ R Sünde ⁡ θ | ψ N l M ( R , θ , ϕ ) | 2
( Herleitung finden Sie hier auf Seite 6)

Ich könnte das Biot-Savart-Gesetz verwenden, um das Magnetfeld aufgrund dieser Stromdichte zu berechnen:

B = μ 0 4 π 1 R 2 ∫ J D 3 R
wobei die Integration (zumindest klassisch) entlang der Stromschleife erfolgen sollte.

Hier bleibe ich hängen.

Weiß jemand wie man die bekommt L ⋅ S Faktor aus diesem Ansatz?

Antworten (2)

Das Problem dabei ist, dass Sie das Magnetfeld betrachten am Proton . Mit diesem Ansatz können Sie die gewünschte Spin-Bahn-Kopplung nicht ableiten. Aufgrund der Symmetrie des Systems würde man erwarten, dass die Magnetfelder bei jedem Teilchen die gleiche Größe haben, aber die Energie der Spin-Bahn-Kopplung kommt von der Elektronen Spin in Wechselwirkung mit dem Magnetfeld. Normalerweise wird die Eigeninteraktion nicht in diese Berechnungen einbezogen. Es ist wichtig zu beachten, dass vom Ruhesystem des Kerns kein Magnetfeld aufgrund des Kerns vorhanden ist, wobei die Beiträge des magnetischen Kernmoments ignoriert werden. Sie befinden sich tatsächlich sehr, sehr nahe an einem anderen Teil des Wasserstoffspektrums, nämlich der Hyperfeinstruktur. Aufgrund der Wechselwirkung des Kernspins mit dem Magnetfeld des Elektrons wird es einen weiteren Beitrag zur Energie des Wasserstoffatoms geben. Bei der Hyperfeinstruktur ist zusätzlich das durch den Elektronenspin verursachte Magnetfeld zu berücksichtigen μ → ∝ S → , was in Kombination mit der Berechnung, die Sie gerade durchführen, eine weitere Störung des Hamilton-Operators ergibt ∝ ICH → ⋅ J → . Um Ihr Problem zu lösen, müssen Sie meines Erachtens die Dirac-Gleichung verwenden.

aber sollte die Physik nicht in allen Bezugsrahmen gleich sein?
Absolut, und die richtige Implementierung davon ist die Dirac-Gleichung. Es kann genau für das Wasserstoffatom und in Ordnung gelöst werden a 4 seine Eigenwerte stimmen mit den Korrekturen aus der Schrödinger-Gleichung überein. Ich denke, das Problem hier ist, dass ein elektrisches Feld, das sich in ein magnetisches Feld umwandelt, ein relativistischer Effekt ist, während die Scrödinger-Gleichung nicht relativistisch ist. (Es hat zwei räumliche Ableitungen, aber nur eine zeitliche Ableitung, relativistische Gleichungen sollten die gleiche Anzahl von räumlichen und zeitlichen Ableitungen haben.)
Wenn Sie es aus der Dirac-Gleichung machen, finden Sie das auch G = 2 , während diese sonst von Hand eingegeben werden muss und unverständlich ist.
Robin danke für deine Antwort. Sie sagen, dass relativistische Gleichungen die gleiche Anzahl von Raum- und Zeitableitungen haben müssen, warum?
In der speziellen Relativitätstheorie werden Raum und Zeit gleich behandelt, und beim Übergang von der prärelativistischen Physik zur speziellen Relativitätstheorie der räumliche Gradient ∇ → befördert wird ∂ / ∂ X μ = ( ∂ / ∂ T , ∂ / ∂ X , ∂ / ∂ j , ∂ / ∂ z )

Ich denke, das ist eine wirklich gute Frage, die ich beim Lernen über dieses Zeug leider nicht angesprochen gefunden habe, und ich denke, wenn Sie sie vermeiden, indem Sie sagen, dass Sie die Dirac-Gleichung benötigen, wird vernachlässigt, dass die Frage klassisch interpretiert werden kann. Also ja, wir brauchen Relativitätstheorie, aber wir sollten keine Quantenmechanik brauchen, um diesen Effekt zu verstehen.

Um zu verstehen, woher das kommt, muss man zunächst den Spin des Elektrons durch einen klassischen magnetischen Dipol ersetzen (denn der Spin ist quantenmechanisch). Ein klassischer magnetischer Dipol entspricht einer sehr kleinen Stromschleife.

Jetzt müssen Sie für den nächsten Schritt ein wenig von der speziellen Relativitätstheorie verstehen. Das ist alles sehr gut erklärt in Wikipedia und in einem Video von Veritasium . Wenn du das verstehst, kannst du das verstehen. Im Ruhesystem des Dipols (Elektron) ist es nur eine normale Stromschleife. Im Ruhesystem des Protons bewirkt die Lorentz-Kontraktion jedoch, dass sich die Dichten positiver und negativer Ladungen in der Drahtschleife so ändern, dass im Ruhesystem des Protons ein Nettodrehmoment entsteht, das dem des Dipols entspricht ( Elektronen) Rahmen.

Nun wird in der Tat die Dirac-Gleichung benötigt, um zu erklären, was wirklich in einem Atom passiert. Aber dieser Effekt muss keine Dirac-Gleichung sein, da er tatsächlich nur aus dem Relativitätsprinzip folgt, das auch von der klassischen Mechanik erfüllt wird.

Spin-Bahn-Kopplung vom Ruhesystem des Protons?
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