Warum verkürzt der Drehimpuls den Schwarzschild-Radius eines Schwarzen Lochs?

Question

Warum verkürzt der Drehimpuls den Schwarzschild-Radius eines Schwarzen Lochs?

Zeichnete

Der Drehimpuls bewirkt, dass sich der Ereignishorizont eines Schwarzen Lochs zurückzieht. Bei maximalem Drehimpuls gilt $J=GM^2/c$ , ist der Schwarzschild-Radius halb so groß wie er wäre, wenn sich das Schwarze Loch nicht drehen würde.

Kann jemand erklären, warum der Drehimpuls den Schwarzschild-Radius verringert?

Alan Römer

interessante Frage ... schließt das M in diesem Ausdruck seine Rotationsenergie ein?

Zeichnete

@AlanSE Nein, M ist nur die Masse des Schwarzen Lochs. Es enthält keine Rotationsenergie.

Winter

Hier ist ein grobes, qualitatives und Newtonsches Argument, das es zumindest plausibel machen kann: Versetzen Sie sich in ein rotierendes Bezugssystem, das der Rotation des BH nahe kommt

r = r_{s}

$r=r_s$ . Der BH befindet sich in Ruhe, aber in diesem Rahmen spüren Sie eine Zentrifugalkraft. Die totale Kraft auf dich

G M m / r^{2} - m v^{2} / r = G M_{e f f} m / r^{2}

$GMm/r^2−mv^2/r=GM_{\rm eff}m/r^2$ impliziert, dass das Objekt eine kleinere effektive Masse hat:

(M_{e f f} - M) / M \sim - \frac{J^{2}}{J_{m a x}^{2}}

$(M_{\rm eff}−M)/M \sim -\frac{J^2}{J^2_{\rm max}}$ und damit eine kleinere effektive

r_{s}

$r_s$ . Ich denke, dies kann in GR ungefähr mit dem gleichen Ansatz (rotierender Referenzrahmen) richtig durchgeführt werden.

John Rennie

Ich bin mir nicht sicher, ob ich den "Schwarzschild-Radius" verwenden würde, um die Größe des inneren Horizonts in einem Kerr-Schwarzen Loch zu beschreiben. Das scheint mir irreführend, zumal wir im Allgemeinen schreiben

r_{i n n e r}

$r_{inner}$ als Funktion von

r_{s}

$r_s$ und

J / m c

$J/mc$ .

Lubos Motl

Lieber @AlanSE und Drew, es ist problematisch zu sagen, ob die Masse die Rotationsenergie beinhaltet oder nicht. Die Antwort hängt von anderen Dingen in Ihrer hypothetischen "Zerlegung" der Gesamtmasse ab. Es ist, als würde man fragen, ob 23 bereits 10 enthält. Nun, das tut es, wenn man es schafft, es als 13+10 zu schreiben, aber nicht, wenn es 15+8 ist. ;-) Wenn sich zwei feste Objekte drehen und einen gewissen relativen Abstand haben, tragen sowohl ihre kinetische Energie als auch ihre potentielle Energie in Bezug auf die Bewegung zur Gesamtenergie - und damit zur Masse - des zusammengesetzten Objekts bei. Aber es ist nicht einfach, ein Schwarzes Loch auf diese Weise zu „zerlegen“.

Trimok

Grob, Qualitativ, Newtonisch... : Bedenken Sie, dass die Gesamtenergie

E

$E$ des Schwarzen Lochs ist die Summe positiver nichtgravitativer Energien

E_{N G}

$E_{NG}$ (Massenenergie, Rotationsenergie, elektrostatische Energie) und eine negative Gravitationsenergie

E_{G} \sim - G \frac{M^{2}}{R}

$E_G \sim -G\frac{M^2}{R}$ . Das Schwarze Loch ist ein Grenzfall:

E = 0, R = R_{S}

$E=0, R=R_S$ ; Angenommen, der Teil der Nicht-Gravitationsenergie besteht aus Massenenergie + Rotationsenergie, das heißt

E_{N G} = M + E_{R O T}

$E_{NG} = M + E_{ROT}$ das gibt

E_{N G} + E_{G} = 0

$E_{NG} +E_G=0$ , das ist

M + E_{R O T} - G \frac{M^{2}}{R_{S}} = 0

$M + E_{ROT} -G\frac{M^2}{R_S}= 0$ , also wann

E_{R O T}

$E_{ROT}$ zunimmt (von Null ausgehend), sehen wir das

R_{S}

$R_S$ nimmt ab.

Ralf Berger

Ich hatte eine ähnliche Frage und bin auf diese hier gestoßen. Ich möchte nur darauf hinweisen, dass sich der Äquitorialradius gegenüber dem Shchwarzschild nicht ändert

r_{s}

$r_s$ (an verschiedenen Orten, einschließlich Kerr-Metrik - Wikipedia und E. Taylors Spinning Black Hole) von:

R = r_{s} + \sqrt{\frac{r_{s}^{2} - 4 a^{2} c o s^{2} θ}{2}}

$R=r_s+\sqrt{\frac{r_s^2−4a^2cos^2\theta}{2}}$ Wobei a das Drehmoment/die Masse ist und auf höchstens rs/2 begrenzt ist. Warum schrumpft also der Ereignishorizont relativ zur Nichtrotation? Etwas, das direkt über dem Pol einfällt, würde anscheinend langsamer fallen, wenn sich das Schwarze Loch dreht. Gibt es eine Energieerhaltung oder eine andere Erklärung?

Antworten (2)

Warum verkürzt der Drehimpuls den Schwarzschild-Radius eines Schwarzen Lochs?

interessante Frage ... schließt das M in diesem Ausdruck seine Rotationsenergie ein?
@AlanSE Nein, M ist nur die Masse des Schwarzen Lochs. Es enthält keine Rotationsenergie.
Hier ist ein grobes, qualitatives und Newtonsches Argument, das es zumindest plausibel machen kann: Versetzen Sie sich in ein rotierendes Bezugssystem, das der Rotation des BH nahe kommt $r=r_s$ . Der BH befindet sich in Ruhe, aber in diesem Rahmen spüren Sie eine Zentrifugalkraft. Die totale Kraft auf dich $GMm/r^2−mv^2/r=GM_{\rm eff}m/r^2$ impliziert, dass das Objekt eine kleinere effektive Masse hat: $(M_{\rm eff}−M)/M \sim -\frac{J^2}{J^2_{\rm max}}$ und damit eine kleinere effektive $r_s$ . Ich denke, dies kann in GR ungefähr mit dem gleichen Ansatz (rotierender Referenzrahmen) richtig durchgeführt werden.
Ich bin mir nicht sicher, ob ich den "Schwarzschild-Radius" verwenden würde, um die Größe des inneren Horizonts in einem Kerr-Schwarzen Loch zu beschreiben. Das scheint mir irreführend, zumal wir im Allgemeinen schreiben $r_{inner}$ als Funktion von $r_s$ und $J/mc$ .
Lieber @AlanSE und Drew, es ist problematisch zu sagen, ob die Masse die Rotationsenergie beinhaltet oder nicht. Die Antwort hängt von anderen Dingen in Ihrer hypothetischen "Zerlegung" der Gesamtmasse ab. Es ist, als würde man fragen, ob 23 bereits 10 enthält. Nun, das tut es, wenn man es schafft, es als 13+10 zu schreiben, aber nicht, wenn es 15+8 ist. ;-) Wenn sich zwei feste Objekte drehen und einen gewissen relativen Abstand haben, tragen sowohl ihre kinetische Energie als auch ihre potentielle Energie in Bezug auf die Bewegung zur Gesamtenergie - und damit zur Masse - des zusammengesetzten Objekts bei. Aber es ist nicht einfach, ein Schwarzes Loch auf diese Weise zu „zerlegen“.
Grob, Qualitativ, Newtonisch... : Bedenken Sie, dass die Gesamtenergie $E$ des Schwarzen Lochs ist die Summe positiver nichtgravitativer Energien $E_{NG}$ (Massenenergie, Rotationsenergie, elektrostatische Energie) und eine negative Gravitationsenergie $E_G \sim -G\frac{M^2}{R}$ . Das Schwarze Loch ist ein Grenzfall: $E=0, R=R_S$ ; Angenommen, der Teil der Nicht-Gravitationsenergie besteht aus Massenenergie + Rotationsenergie, das heißt $E_{NG} = M + E_{ROT}$ das gibt $E_{NG} +E_G=0$ , das ist $M + E_{ROT} -G\frac{M^2}{R_S}= 0$ , also wann $E_{ROT}$ zunimmt (von Null ausgehend), sehen wir das $R_S$ nimmt ab.
Ich hatte eine ähnliche Frage und bin auf diese hier gestoßen. Ich möchte nur darauf hinweisen, dass sich der Äquitorialradius gegenüber dem Shchwarzschild nicht ändert $r_s$ (an verschiedenen Orten, einschließlich Kerr-Metrik - Wikipedia und E. Taylors Spinning Black Hole) von: $R=r_s+\sqrt{\frac{r_s^2−4a^2cos^2\theta}{2}}$ Wobei a das Drehmoment/die Masse ist und auf höchstens rs/2 begrenzt ist. Warum schrumpft also der Ereignishorizont relativ zur Nichtrotation? Etwas, das direkt über dem Pol einfällt, würde anscheinend langsamer fallen, wenn sich das Schwarze Loch dreht. Gibt es eine Energieerhaltung oder eine andere Erklärung?

Phibert · Answer 1

Ich werde diese Frage theoretisch angehen, obwohl ich das Gefühl habe, dass die Intuition gut folgt. Wenn wir von Kerr-Schwarzen Löchern sprechen – rotierende Schwarze Löcher, die durch ihre Masse und ihren Drehimpuls ohne zusätzliche Parameter wie Ladung usw. beschrieben werden – dann können Sie zeigen, dass der Radius des Ereignishorizonts gegeben ist durch

$\boxed{r=M + \sqrt{M^2-a^2}}$

wo $a=\frac{J}{M}$ .

(Dieser Wert von $r$ wird gefunden, indem man herausfindet, wo die Kerr-Metrik explodiert; daher Ereignishorizont. Um herauszufinden, wo die Metrik explodiert, muss eine quadratische Gleichung gelöst werden, sodass wir zwei Werte von erhalten $r$ und in Kerr-Schwarzen Löchern haben wir daher zwei Ereignishorizonte; anders als bei Schwarzschild-Schwarzen Löchern.)

In Bezug auf Ihren ersten Punkt zum maximalen Drehimpuls, wenn wir uns festlegen $G=1$ und $c=1$ , der von Ihnen angegebene maximale Drehimpuls ist gegeben durch $a=M$ und wenn wir dies in unsere Gleichung für einsetzen $r$ oben sehen wir, dass wir haben

$r=M$ .

Wir wissen, dass der Radius des Ereignishorizonts in einem Schwarzschild-Schwarzen Loch (keine Rotation) ist $r=2M$ . Daher können wir sehen, dass der Radius des Ereignishorizonts bei maximalem Drehimpuls nur halb so groß ist wie der Radius, den er hätte, wenn sich das Schwarze Loch nicht drehen würde.

Zu diesem Zweck können wir auch sehen, dass bei einem Drehimpuls von Null $a=0$ , wir haben

$r=2M$

was wir wollen, denn bei einem Drehimpuls von Null sollten wir natürlich den Schwarzschild-Radius haben.

Unter Verwendung der eingerahmten Gleichung für $r$ Oben ist es einfach, verschiedene Werte von zu testen $a$ um zu sehen, was mit dem Ereignishorizont passiert. Beispielsweise reicht diese Gleichung allein aus, um zu zeigen, dass z $a>M$ Wir haben keinen Ereignishorizont, in diesem Fall haben wir einen sogenannten „Fast Kerr“, der nur eine Singularität ohne Ereignishorizont ist.

Es ist nicht so, dass die komplexen Werte für den Horizont in der Allgemeinen Relativitätstheorie nicht funktionieren, so sehr, dass diese Gleichung keine wirkliche Lösung hat. Zum $a > M$ , du hast keinen Horizont. Diese Lösungen beschreiben nackte Singularitäten, keine schwarzen Löcher.
Dies scheint mir die Frage aufzuwerfen: Sicher hat die Kerr-Metrik kritische Punkte bei diesen Werten, die kleiner werden, wenn der Drehimpuls größer wird ... aber warum hat die Metrik diese Eigenschaften überhaupt und warum ist sie richtig? metrisch?

Daniel · Answer 2

Vielleicht eine aus der Thermodynamik motivierte qualitative Antwort: Wenn Sie Ihr Schwarzes Loch rotieren lassen, verringern Sie die Anzahl der Symmetrien Ihres Systems, dies verringert Ihre Entropie $S$ die proportional zur Oberfläche ist. Die Oberfläche ist jedoch sicher monoton wachsend mit Ihrem Schwarzschild-Radius, daher, wenn Ihre Symmetrien brechen, $r$ wird abnehmen.

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Alan Römer

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Winter

John Rennie

Lubos Motl

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Ralf Berger

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Phibert

Jerry Schirmer

Phibert

zibadawa timmy

Daniel

Gravitation am Ereignishorizont des supermassiven Schwarzen Lochs

Sollten Schwarze Löcher nicht die gleiche Gravitationskraft ausüben wie ein Objekt ähnlicher Masse, aber geringerer Dichte?

Blauverschiebung in der Nähe des Schwarzschild-BH-Horizonts

Was würde passieren, wenn eine negative Masse den Ereignishorizont eines Schwarzen Lochs überqueren würde?

Wie groß ist die Kraft direkt über dem Horizont eines Schwarzen Lochs?

Ist die Flugbahn eines Objekts, das auf ein Schwarzes Loch zufällt, für einen entfernten Beobachter immer umkehrbar?

Wie kann sich eine Singularität in einem Schwarzen Loch drehen, wenn es nur ein Punkt ist?

Oberflächengravitation und Masse eines Schwarzen Lochs

Oberflächengravitation des Kerr-Schwarzen Lochs

Gravitationspotential relativ zu einem Schwarzen Loch