Warum widerspricht die Widerstandskraftgleichung der Beziehung zwischen der Reynolds-Zahl und dem Widerstandsbeiwert?

ERSTE GLEICHUNG

Sie können kein Diagramm von erhalten$C_D$vs$r$indem die Widerstandskraft konstant gehalten wird, da die Widerstandskraft mit zunehmendem r zunimmt.

$C_D$wird im Allgemeinen zumindest über einen bestimmten Wertebereich als konstant angenommen (daher der Name Luftwiderstandsbeiwert ) . Dies zeigt, dass über einen Bereich, in dem C_D relativ konstant ist, die Widerstandskraft proportional zur Querschnittsfläche ist. So würde normalerweise die erste Gleichung verwendet: Sie finden oder suchen einen angemessenen C_D für Ihre Situation und setzen ihn mit den anderen Werten in die Gleichung ein, um die Widerstandskraft (auch Luftwiderstand genannt) abzuschätzen.

In dieser ersten Gleichung gibt es einige offensichtliche Dinge: Die Menge des Luftwiderstands steigt mit zunehmender Geschwindigkeit, mit zunehmender Dichte, mit zunehmender Fläche und mit zunehmendem Widerstandskoeffizienten. Die Viskosität ist nicht in der Gleichung enthalten und würde den Luftwiderstandsbeiwert direkt beeinflussen.

ZWEITE GLEICHUNG

Die zweite Gleichung ist eine Definitionsgleichung. Das ist die Definition der Reynoldszahl. Es ist einer von mehreren dimensionslosen Parametern, die zur Charakterisierung einer Strömungssituation verwendet werden - der bekannteste. Sie können sich eine Reynolds-Zahl ansehen und sehen, ob es sich beispielsweise um eine laminare oder turbulente Situation handelt, ohne etwas anderes zu wissen. Der$L$in der Gleichung ist der Radius der Kugel in Ihrem Fall.

Normalerweise ist der Luftwiderstandsbeiwert über sich ändernde Reynolds-Zahl relativ konstant, aber nicht hier. Unabhängig davon taucht die Widerstandskraft jedoch nicht in dieser Gleichung auf. Die Widerstandskraft verwendet die erste Gleichung. Die Tatsache, dass der Koeffizient eine Funktion der Reynolds-Zahl ist, bedeutet, dass Sie Änderungen vornehmen könnten, die die Reynolds-Zahl konstant halten, ohne diesen Koeffizienten zu ändern (was bedeutet, dass Sie beispielsweise beide verdoppeln könnten$\mu$und L und den Koeffizienten nicht ändern, da diese Änderung die Reynolds-Zahl nicht ändern würde). Aber normalerweise schaust du nach oben$C_D$auf dort und verwenden Sie es in der ersten.

EINEN WERT ERHALTEN, UM ZU STARTEN

Verwenden Sie zur Verdeutlichung die Reynolds-Zahl und das von Ihnen gepostete Diagramm. Die x-Achse dieses Diagramms ist also exponentiell$C_D$ändert sich sehr langsam mit der Reynolds-Zahl. Könnte man wahrscheinlich vermuten$C_D$ist konstant, abhängig davon, mit welchen Reynolds-Zahlen Sie arbeiten. Nur zum Beispiel, wenn Sie zu dem Schluss kommen, dass die gesamte Situation zwischendurch funktionieren wird$Re = 800$Und$Re = 8,000$... Also,$C_D$bei$800$ist vielleicht$0.6$und bei$8,000$handelt von$0.5$. Ich würde einfach davon ausgehen, konstant von$0.55$, besonders am Anfang. Vielleicht könntest du es später bei Bedarf mit Re ändern lassen. Zum Teil, weil die Fluiddynamik sowieso nicht exakt ist.

Der Luftwiderstandsbeiwert hängt von der Form eines Objekts, dem Material auf seiner Oberfläche und irgendwelchen Besonderheiten ab, wie die Flüssigkeit mit dem Objekt und sich selbst interagiert. Es wurde entwickelt, um sein Bestes zu geben, um konstant zu bleiben, selbst wenn Sie sich ändern$A, v^2$oder$\rho$, aber in Wirklichkeit ist es nicht ganz konstant, besonders wenn Sie eine dieser Variablen häufig ändern.

Der Graph der Reynoldszahl vs.$C_D$zeigt im Grunde die Unvollkommenheit des Versuchs, diese komplizierten Beziehungen zwischen der Kugel und der Widerstandskraft als Funktion der Geschwindigkeit und / oder Länge der Kugel darzustellen (da$L$in Reynoldszahl bezieht sich auf die Länge in Längsrichtung und nicht auf die Querschnittsfläche)

Theoretisch sollte der Luftwiderstandsbeiwert ungefähr gleich bleiben, wenn Sie den Radius der Kugel ändern. Der ganze Sinn der Nicht-Dimensionierung besteht darin, Probleme zu skalieren. Wenn Sie also den Widerstandsbeiwert einer Modellkugel berechnen, kann die Widerstandskraft einer großen Kugel mithilfe der Widerstandsgleichung berechnet werden.

Allerdings müssen auch andere dimensionslose Parameter konstant gehalten werden. Der Luftwiderstandsbeiwert würde also nur gleich bleiben, wenn Sie auch die Reynoldszahl und die Machzahl ungefähr konstant halten würden. Wenn der Luftwiderstandsbeiwert keine Funktion der Reynolds-Zahl oder der Mach-Zahl wäre, würden Sie unabhängig von der Größe einen konstanten Cd erhalten.

In diesem Diagramm, das Sie von Cd gegen Re gezeigt haben, fragen Sie sich vielleicht, warum der Luftwiderstand plötzlich abfällt. Dies wird als „Drag-Krise“ bezeichnet. Was passiert ist, ist, dass das Strömungsregime turbulent geworden ist. Im Allgemeinen bedeutet eine hohe Reynolds-Zahl, dass die Strömung instabil ist und bei Störungen schnell turbulent wird. Eine der Hauptquellen des Luftwiderstands ist auf die Strömungsablösung zurückzuführen. Das passiert, um es ganz schnell zusammenzufassen, wenn die Strömung nicht genügend Energie hat, um die Kugel auf der stromabwärtigen Seite umbiegen zu können. Wenn die Strömung turbulent wird, wird die Strömung in der Nähe der Wand (der Grenzschicht) energischer, sodass sie jetzt die Kurve machen kann. Dadurch wird verhindert, dass sich die Strömung ablöst, wodurch der erzeugte Druckwiderstand reduziert wird. Vielleicht möchten Sie nach „nachteiligen Druckgradienten“ suchen, um mehr darüber zu erfahren.

Eine typische Reynolds-Zahl für die Strömung über einer Kugel könnte sein:

Das setzt Strömung voraus$20 ms^{-1}$, die Luftdichte beträgt ca$1.2 kgm^{-3}$, der Durchmesser beträgt 5 cm und die dynamische Viskosität von Luft ist$1.81 \times 10^{-5} Pa \cdot s$. Halten Sie jetzt die Freistrahlgeschwindigkeit$u$konstant, könnten Sie den Durchmesser Ihrer Kugel auf vielleicht variieren$30 cm$maximal. Dies würde eine Re von etwa ergeben$400000$. Aus Ihrem Diagramm geht dies im Bereich von Re aus$10^4$Zu$10^5$.

Bei einer glatten Kugel können Sie eine dramatische Abnahme des Widerstands feststellen, wenn Sie den Kugeldurchmesser erhöhen, da das Strömungsregime turbulent wird. Für eine raue Kugel sollte der Cd ziemlich konstant bleiben.

Wenn Sie möchten, dass die Dinge relativ ereignislos bleiben, können Sie die Freistrahlluftgeschwindigkeit reduzieren, um den Re im Bereich zu halten$10^3$Zu$10^4$wo die Cd ziemlich konstant ist. Die interessantere Variation von Cd mit Radius tritt bei sehr niedrigen Reynoldszahlen und hohem Re auf. Bei einem niedrigen Re haben Sie eine Stokes-Strömung, bei der es keine Strömungsablösung gibt. Die Strömungstrennung verursacht Druckwiderstand, daher ist die einzige Widerstandsquelle viskos (Hautreibungswiderstand auf der Oberfläche der Kugel). Wenn Sie den Radius Ihrer Kugel vergrößern, nimmt Re zu und die relative Größe der viskosen Kräfte nimmt ab, sodass Cd abnimmt. Denn das Re ist ein Verhältnis der Trägheitskräfte in der Flüssigkeit zu den viskosen Kräften – bei einem niedrigen Re sind die viskosen Kräfte dominant und die Trägheit der Flüssigkeit kann vernachlässigt werden.