Warum wird der Einwand von Aristoteles nicht als Lösung für Zenos Paradoxon angesehen?

Die Lösung von Aristoteles wurde bis Ende des 19. Jahrhunderts weitgehend akzeptiert, als Cantor und Dedekind den Begriff des Kontinuums in Bezug auf die Mengenlehre formalisierten. Nach ihrer Interpretation besteht die Zeit tatsächlich aus unteilbaren Momenten, genau wie eine Linie aus Punkten besteht, und jede andere Größe besteht ebenfalls aus unteilbaren Elementen. Das bedeutet nicht, dass Aristoteles „falsch“ ist, aber es bedeutet, dass seine Interpretation von Zeit/Kontinuum im Widerspruch zur modernen Mathematik steht und ihre Nützlichkeit dadurch stark verringert wird. Da Mathematik verwendet wird, um Zeit und Bewegung in physikalischen Theorien zu beschreiben, würde man eine Lösung bevorzugen, die ihre Prämissen berücksichtigt.

Natürlich werden rein mathematische Bewegungsprobleme durch Infinitesimalrechnung gelöst, aber aus philosophischer Sicht ist die Natur der Momentangeschwindigkeit, ein Schatten der Bewegung, wo es keine Bewegung geben kann, rätselhaft. Und die Tatsache, dass selbst die klassische physikalische Beschreibung nicht den wahrnehmbaren physikalischen Raum erfordert, sondern den verborgenen Konfigurationsraum mit doppelt so vielen Dimensionen (um Geschwindigkeiten zu berücksichtigen und Zenos Pfeilbewegung zu bewirken), ist noch rätselhafter. Wenn es um Zeit, Position und Geschwindigkeit geht, wird es in der Quantentheorie noch rätselhafter.

Wenn man zurückdenkt, erkennt man, dass die Lösung von Aristoteles immer unvollständig war: Er sagt, was Zeit nicht ist, was ausreicht, um das Paradoxon zu verwerfen, aber nicht, was es ist, was benötigt wird, um die Bewegungsrätsel zu erklären, die es hervorrufen. Unter anderen Annahmen geben physikalische Theorien viel pointiertere und detailliertere Antworten. Es ist möglich, dass eine zukünftige Theorie Aristoteles irgendwie rechtfertigen würde, aber ihre Beschreibung der Zeit müsste viel ausführlicher sein als seine.

Wie wird das Problem konkret angegangen? In der Frage selbst wird nicht bestritten, dass die Zeit in irgendeiner Weise aus Punkten zusammengesetzt ist. Jeder dieser Zeitpunkte, zu denen wir die Entfernungen abtasten, existiert tatsächlich, und wir können jedes dieser Entfernungsverhältnisse nehmen. Dieses Argument verfehlt also völlig den Punkt.

Tatsächlich tun wir in der Nichtstandardanalyse genau das, indem wir die Analysis vereinfachen, indem wir infinitesimale Elemente konstruieren und ein Kontinuum modellieren, das tatsächlich aus Punkten besteht, die sich tatsächlich zur Größe addieren, sodass wir wissen, dass diese Art der Betrachtung der Geometrie ist nicht wirklich falsch im absoluten Sinne.

Das Problem besteht darin, Null durch Null zu teilen und eine bestimmte Zahl ungleich Null und nicht unendlich zu erhalten. Das ist irgendwie beunruhigend genug, dass die Scheinlösung, die das Argument überhaupt nicht einbezieht, für das antike und mittelalterliche Denken akzeptabler war.

Aber seit Leuten wie Archimedes von Perge, Albertus Magnus und Newton sind wir an die Vorstellung gewöhnt, dass das Kontinuum ganz natürlich über die Division durch Null hinausgeht und die Grenzen von Verhältnissen gut definiert werden können.

Es ist immer noch ein Ort, an dem man sich leicht in Unsinn verstricken kann, wenn man nicht sehr sorgfältig damit umgeht, also verdient es, obwohl wir eine Lösung dafür akzeptieren, es, als problematisches Gebiet markiert zu werden, und es als Paradoxon zu bezeichnen, ist es nicht außer Betrieb.

Aristoteles scheint über die Zeit mit einem mathematischen Modell (geometrische Größe) zu argumentieren, das sich von dem heute üblicherweise verwendeten unterscheidet (reelle Zahl). Dies steht nicht im Widerspruch zur modernen Mathematik, sondern zu der Art und Weise, wie Zeit in der modernen Physik modelliert wird.

Die reellen Zahlen (und die Maßtheorie) führen zu eigenen Paradoxien wie Banach-Tarski (nicht direkt relevant für lineare Größen, aber berühmt ). Die Zwänge, wie klassische Geometrie praktiziert wurde, unterstützten nicht die Aufteilung einer Größe in Unteilbare, sondern nur in kleinere Größen. Dies stellte eine Art Barriere für modernere Auflösungen des Paradoxons dar, eine Barriere, die durch die Infinitesimalrechnung überwunden wurde. Aber während diese Einschränkungen Paradoxien wie die von Zeno ermöglichten, unterdrückten sie auch die der Maßtheorie innewohnenden Paradoxien.

Die Auflösung von Aristoteles und Aquin gilt für das geometrische Größenmodell der Zeit (in dem eine Größe nicht in Unteilbare geteilt werden kann), aber nicht für das moderne reelle Zahlen-/Kalkül-Modell der Zeit (in dem eine Größe in Unteilbare geteilt und wiederhergestellt werden kann ). über Integration oder Maßnahme). Ein neueres mathematisches Modell kann jedoch einige alte Paradoxien auflösen, während es neue einführt.

Wenn ich Aristoteles widersprechen wollte, würde ich es aus folgenden Gründen tun.

In der modernen Mathematik wissen wir, wie man einzelnen Punkten viel mehr Daten zuordnet; z.B

• In der Physik haben Teilchen zu jedem Zeitpunkt einen Impuls. Physikalische Gesetze beziehen sich auf den Impuls, wie sich die Position ändert
• In ähnlicher Weise hat in der Differentialgeometrie jeder Punkt einen Kotangensraum : Daten aus dem Kotangensraum sagen uns, mit welcher Rate sich eine Funktion ändert
• Allgemeiner gesagt hat jeder Punkt einen Stiel : Der Keim einer Funktion an einem Punkt ist genug Information, um uns alles über die Funktion in einer ganzen offenen Umgebung des Punktes zu sagen. (obwohl nicht wie groß die Nachbarschaft ist)

und wir haben gut studiert, wie man Daten an einzelnen Punkten zu einem kontinuierlichen Ganzen zusammenfügt.

Wir können darauf bestehen, dass wir in jedem Moment – ​​in jedem „unteilbaren Jetzt“ – nicht darauf beschränkt sind, genau zu wissen, wo sich etwas befindet, sondern stattdessen seinen gesamten Bewegungskeim . Und folglich sind wir in der Lage, Bewegung als ein Kontinuum von „unteilbaren Jetzt“ zu studieren.

Abgesehen davon denke ich, dass dieser Einwand eher eine Formsache ist, als mit dem Geist der Position von Archimedes nicht einverstanden zu sein. Meine Intuition ist, dass die obigen Ideen (und mehr) alle eine „unscharfe“* Vorstellung von Punkt ausfüllen, die irgendwie eine Erweiterung hat, obwohl** sie nur ein Punkt ist. Und in gewisser Weise schaffen es diese Fuzzy-Punkte immer noch, "teilbar" zu sein; zB durch Übergang vom Stiel zur Faser. (dh den "Keim" der Bewegung vergessen und sich nur an die Position in diesem Moment erinnern).

Eine freundlichere Interpretation ist, dass dieser unscharfe Begriff des Punktes immer noch dem Geist von Aristoteles' Position entspricht.

*: Kein Bezug zur Fuzzy-Logik

**: Einige handhaben es sogar transparenter, z. B. wie die Nichtstandardanalyse um einen Standardpunkt herum einen ganzen Halo von "unendlich nahen" Nichtstandardpunkten erzeugt.

Um etwas zu erweitern, das ich in einem anderen Kommentar erwähnt habe, würde ich sowieso gegen den obigen Einwand protestieren, da er immer noch mehr als "Punkte und zusätzliche Daten" benötigt - dh es gibt noch zusätzliche Informationen (z. B. eine Topologie). die kodiert, wie die Punkte selbst zueinander in Beziehung stehen. Diese zusätzlichen Informationen sind mindestens genauso wichtig (und wohl wichtiger ) als die Punkte selbst.

Das Folgende ist eigentlich der Inhalt einer hier gestellten Frage ; aber das hat einen Einfluss auf die obige Frage:

Zeno ist bekannt als der Geschichtenerzähler von Achilles und der Schildkröte und wie die Schildkröte Achilles niemals fängt; was unserer Erfahrung widerspricht; die Frage, wie man diese beiden Begriffe quadriert, fällt im Allgemeinen in die Theorie der unendlichen Reihen; und dies ist tatsächlich nur eine Formalisierung der folgenden physikalischen Beobachtung:

Dass die Folge von Verschiebungen, die Achilles bewegt, eine unendliche Reihe ist; dass wir wissen, dass sich die Gesamtsumme dieser Verschiebungen zu einer endlichen Summe addieren muss (da sich sein und der Weg der Schildkröten schließlich kreuzen); Die mathematische Formalisierung davon wird technisch als Satz der monotonen Konvergenz bezeichnet

Wenn wir uns jedoch dem Erscheinen von Zenos in Platos Parmenides zuwenden, finden wir Sokrates, der Folgendes sagt:

Ich sehe, Parmenides, Zenon möchte mit dir nicht nur in Freundschaft eins sein, sondern auch in seinen Schriften dein zweites Ich; er drückt das, was Sie sagen, anders aus und möchte glauben machen, er erzähle uns etwas Neues.

worauf er näher eingeht

Denn Sie sagen in Ihren Gedichten : „Alles ist eins“, und Sie führen ausgezeichnete Beweise dafür an; und er sagt andererseits: Es gibt nicht viele; und dafür bietet er überwältigende Beweise. Sie bejahen Einheit, er leugnet Pluralität. Und so täuschen Sie die Welt, damit sie glauben, dass Sie verschiedene Dinge sagen, obwohl Sie in Wirklichkeit ziemlich dasselbe sagen. Dies ist eine Art Kunst, die für die meisten von uns unerreichbar ist.

Was kaum der Inhalt des obigen Arguments zu sein scheint; denn wo wird dort Pluralität geleugnet - und was laut Sokrates der Kern von Zenos Anliegen zu sein scheint.

Hinweis :

Ein möglicher Vorschlag ist, dass sowohl Bewegung in Bezug auf Weg als auch Zeit unter Verwendung der realen Linie gemessen wird; und dies als eine Vielzahl von Punkten gedacht, lässt überhaupt keine Bewegung zu. Denn wie kann man sich von einem Punkt zum anderen bewegen? Denn zwischen einem Punkt und einem anderen ist eine Leere .

Das klingt unnatürlich und unintuitiv; Betrachten Sie jedoch die reale Linie mit der sogenannten diskreten Topologie , in der :

die Punkte bilden eine diskontinuierliche Folge, sind also gewissermaßen voneinander isoliert

Optisch ist es, als ob wir eine Lupe an die Linie nahmen und zwischen den Punkten eine Leere sahen (es ist natürlich eine Lupe mit einer unnatürlich hohen Vergrößerungskraft und in keinem Laden auf der Hauptstraße zu finden); Es wird andeutend auch als völlig getrennte Leitung bezeichnet . Die Topologie bindet somit die gesamte Vielzahl von Punkten zu einer Einheit zusammen; es vertreibt die Leere; und lässt Bewegung zu.

Es gibt einen Unterschied zwischen einem Punkt und einer Unteilbarkeit. Ich denke, das Wichtigste ist, die Unterscheidung zu berücksichtigen. Der einfache Ausweg hier ist, einen Punkt als ein Objekt ohne Größe und unteilbar als ein Objekt mit Größe zu betrachten. Wenn wir behaupten, dass eine Linie aus Punkten besteht, bedeutet dies, dass sich eine Folge von unendlich vielen Nullen zu einer Einheit addiert, was eindeutig falsch ist. Aber mit Unteilbaren als Objekten mit Größe, wie sie auch Archimedes verwendet hat, dann werden sie sich zu einer Einheit addieren. Dies ist ein Problem aus Newtons Zeit, aber es geht auf Archimedes zurück, der nie eine klare Definition der Grenze hatte und vielleicht nie versucht hat, sie zu definieren.

Der klarste Weg für mich, dieses berühmt-scheinbar-tiefharte Paradoxon aufzulösen, liegt in der modernen unendlichen Rechnung, die mit dem Leibniz-dx-Symbol klar ausgedrückt werden kann. Zusammenfassend „beschreibt“ Zeno also die Verschiebung einer geraden Bahnkurve als: 0 + 0 + 0 + ..(infinitely many).. + 0 = 0, während die ehrliche, also vernünftige Art, dasselbe zu „beschreiben“, lautet: dx + dx + dx + ..(infinitely many).. + dx = a finite number(relativ zu unserer Welt), dh ein bestimmtes Integral ∫dx = finite number.

In diesem Sinne ist die Erklärung von Aristoteles also auf dem richtigen Weg, aber es fehlt ihr an Strenge im Vergleich zum Kalkül. Bewegung wird durch Messen (Integration) akkumuliert, nicht durch unendliches Zählen von Augenblicken.

Aber der wirklich schwierige Teil ist unser sehr begrenztes unvollständiges Verständnis des Kontinuums, bis nach Dedekind, Cantor, Lebesgue, Baire et al. Jetzt wissen wir anhand der Baire-Kategorien mehr über den scheinbaren Unterschied zwischen Rationalen und Irrationalen. Dies ist also ein Beispiel, das zeigt, dass der Empirismus nicht erklären kann, wie Menschen diese Art von Vorstellung entdecken oder erfinden können, die nur sinnvoll erscheint, um sie auf einer extrem abstrakten und transzendentalen Ebene jenseits unserer allgemein erlebten Welt zu visualisieren. "dx" macht für unsere Sinnesorgane keinen Sinn, ähnlich wie die Phänomene in der Quantenmechanik ...