Was bedeutet der Antikommutatorterm in der Unschärferelation?

Lieber Rodrigo, das ist eine interessante stärkere Version der Unschärferelation für allgemeine Operatoren$A,B$das ich noch nie zuvor gesehen habe, aber ich habe gerade überprüft, dass es hält. Nur um sicherzugehen, der Antikommutator ist einfach

Um zu sehen, warum die stärkere Ungleichung gilt, öffnen Sie Wikipedia hier

http://en.wikipedia.org/wiki/Uncertainty_principle#Mathematical_derivations

wobei nur die einfachere Version der Ungleichung (ohne den quadratischen Antikommutator) durch Kombination zweier Ungleichungen bewiesen wird. Der erste,

(Natürlich ist die oben hergeleitete Gleichung nutzlos schwach, es sei denn, die Erwartungswerte von$A,B$verschwinden selbst. Es kann in Ihrem verstärkt werden, indem Sie das gleiche Verfahren für wiederholen$\Delta A = A-\langle A\rangle$und ähnlich$\Delta B = B-\langle B\rangle$anstatt$A,B$.)

Ich habe geschrieben, was der Antikommutator mathematisch bedeutet und warum die Ungleichung wahr ist. Was bedeutet nun der Begriff Antikommutator physikalisch? Ich weiß nicht, was diese Frage bedeutet. Es ist ein Term in einer Gleichung, die ich dir noch einmal vorlesen und erklären kann. Die genauen Antworten in der Physik gibt die Mathematik. Ich schätze, die Antwort, die Sie hören möchten, ist, dass es physikalisch nichts bedeutet, es ist nur reine Mathematik. Diese Tatsache bedeutet nicht, dass es nicht nützlich sein kann.

Nun, in normalen Fällen ist die stärkere Version nicht "furchtbar" nützlich, da der Antikommutatorterm nur dann ungleich Null ist, wenn es eine "Korrelation" in den Verteilungen von gibt$A,B$- dh wenn die Verteilung in der "gekippt" ist$A,B$Ebene und nicht ähnlich einer vertikal-horizontalen Ellipse, was normalerweise bei einfachen Wellenpaketen usw. der Fall ist. Vielleicht wollten Sie dies als physikalische Erklärung des Antikommutatorbegriffs hören - weil$AB+BA$ist nur das Doppelte des hermiteschen Teils$AB$, es misst die Korrelation von$A,B$in der durch die Wellenfunktion gegebenen Verteilung - obwohl die genaue Bedeutung dieser Wörter durch die Formel bestimmt werden muss.

Lieber Rodrigo, mir ist keine direkte physikalische Bedeutung des Antikommutatorbegriffs bekannt, aber er ist nützlich, wenn Sie die Zustände festlegen möchten, die die Ungleichung im Heisenberg-Prinzip sättigen. Offensichtlich müssen zwei Bedingungen erfüllt sein, wenn eine Gleichheit in der üblichen Unschärferelation auftreten soll: Der Antikommutatorterm muss verschwinden und die Cauchy-Schwarz-Ungleichung (siehe den Kommentar von Luboš Motl) muss gesättigt sein. Letzteres geschieht genau dann, wenn die Vektoren$\Delta A|\psi\rangle$Und$\Delta B|\psi\rangle$sind kollinear, sagen wir mal$\Delta A|\psi\rangle=\lambda\Delta B|\psi\rangle$. Dies entspricht$(A-\lambda B)|\psi\rangle=(\langle A\rangle-\lambda\langle B\rangle)|\psi\rangle$, das ist,$\psi$ist ein Eigenvektor von$A-\lambda B$. Aber dann wird der Erwartungswert des Antikommutators$\langle\{\Delta A,\Delta B\}\rangle=(\lambda+\lambda^*)\langle(\Delta B)^2\rangle$, die nur verschwindet, wenn$\lambda$ist rein imaginär, es sei denn natürlich$|\psi\rangle$ist ein Eigenvektor von$B$in diesem Fall ist die ganze Ungleichung trivial. Also am Ende der Staat$|\psi\rangle$sättigt die Ungleichung in der (üblichen Formulierung der) Unschärferelation genau dann, wenn sie ein Eigenzustand von ist$A-\lambda B$für einige rein imaginär$\lambda$. Dies geschieht beispielsweise für die kohärenten Zustände des harmonischen Oszillators.