Was bedeutet es, von einer „doppelten“ Legendre-Transformation zu sprechen?

Dies bedeutet, zwei aufeinanderfolgende Legendre-Transformationen anzuwenden:

$$K(p, \dot p, t) = J(q, p, t) - q \dot p = L(q, \dot q, t) - q \dot p - p \dot q$$

Nun ist der Hamiltonoperator definiert als$H = p \dot q - L = - J$. Tatsächlich spielt dies keine Rolle, da die Multiplikation des Hamilton- / Lagrange-Operators mit einer Nicht-Null-Konstante dieselben dynamischen Gleichungen ergibt.

Ich denke, das ist der Grund, warum man stellt$K(p, \dot p, t) = L(q, \dot q, t) - q \dot p - p \dot q$und nicht$K(p, \dot p, t) = q \dot p + p \dot q - L(q, \dot q, t)$ist, dass man möchte, dass der Lagrange-Impulsraum dem ursprünglichen Lagrange ähnelt. Der Grund, warum man hat$H = p \dot q - L$muss sein, dass wir wollen, dass es mit Energie übereinstimmt, wenn es möglich ist.

Nun, man kann argumentieren, dass Gl. (5.63) sind nämlich genau zwei aufeinanderfolgende Legendre-Transformationen der Standardform$^1$

$$\text{ function } + \text{ Legendre transformed function } = \text{ product of Legendre variables }.\tag{0}$$

Im Detail haben wir

$$\begin{align} H(-q,p,t) ~+~L(-q,v,t) &=~ p_iv^i \quad\quad\longleftarrow\text{ (Legendre transf. in }p_i\leftrightarrow v^i) \tag{1}\cr\cr H(-q,p,t) ~+~K(p,f,t) &=~ -\!q^if_i \quad\longleftarrow\text{ (Legendre transf. in } -\! q^i\leftrightarrow f_i)\tag{2}\cr\cr & \Downarrow\cr\cr L(-q,v,t)~-~K(p,f,t) &~=~ p_iv^i + q^if_i \qquad\longleftarrow\text{ (Double Legendre transf.)} \tag{3}\end{align}$$ Hier haben wir identifiziert $$v^i~=~\dot{q}^i \quad\text{and}\quad f_i~=~\dot{p}_i.\tag{4}$$ Das Minuszeichen auf der rechten Seite. von Gl. (2) wird eingeführt, um die Standardvorzeichenkonvention zu gewährleisten $$\dot{p}_i~=~f_i~=~\frac{\partial H}{\partial(-q^i)} ~\equiv~ -\frac{\partial H}{\partial q^i} \tag{5}$$ für die Hamilton-Gleichungen . Damit Gl. (2) von der Form (0) sein, haben wir daher das Argument eingeführt$-q^i$statt$+q^i$. Natürlich jede Funktion von$+q^i$kann als Funktion von neu ausgedrückt werden$-q^i$, und umgekehrt, also ist dies keine Einschränkung. [Alternativ kann man mit dem Argument arbeiten$+q^i$, und akzeptiere einen Vorzeichenunterschied zwischen Gl. (0) & (2).]

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$^1$Man kann natürlich verschiedene Zeichen in die Definition (0) einführen, aber man sollte bedenken, dass dies Konsequenzen für die Verflechtungsbeziehungen hat.

I) In diese Antwort möchten wir die doppelte Legendre-Transformation (5.63) über erweiterte Aktionsprinzipien im Sinne meiner Phys.SE-Antwort hier einbeziehen . Vergleichen Sie die beiden erweiterten Aktionen

$$\begin{align} L_E(q,\dot{q},v,p,t)~:=~& p_i(\dot{q}^i-v^i)+L(q,v,t) \tag{LE}\cr \stackrel{\text{int. out } v^i}{\longrightarrow}&\quad L_H(q,\dot{q},p,t)~=~p_i\dot{q}^i-H(q,p,t), \tag{LH}\cr &\qquad\qquad\qquad H(q,p,t)~:=~\sup_v \left(p_iv^i-L(q,v,t)\right),\cr \stackrel{\text{int. out } p_i}{\longrightarrow}&\quad L(q,\dot{q},t)\tag{L}\end{align}$$ Und $$\begin{align} K_E(q,\dot{q},p,f,t)~:=~& -q^i(\dot{p}_i-f^i) +K(p,f,t) \tag{KE}\cr \stackrel{\text{int. out } f_i}{\longrightarrow}&\quad K_H(q,\dot{q},p,t)~=~-q^i\dot{p}_i-H(q,p,t), \tag{KH}\cr &\qquad\qquad\qquad H(q,p,t)~:=~\sup_f \left(-q_if^i-K(p,f,t)\right), \cr \stackrel{\text{int. out } q^i}{\longrightarrow}&\quad K(p,\dot{p},t) \tag{K}\end{align}$$

II) Beachten Sie, dass der Unterschied

$$L_H-K_H~=~\frac{d(p_iq^i)}{dt}$$ ist eine Gesamtzeitableitung. Dies zeigt, dass$L_H$Und$K_H$haben die gleichen Euler-Lagrange (EL)-Gleichungen (nämlich die Hamilton-Gleichungen ). Wenn wir uns integrieren$p_i$xoder$q^i$wir kommen an$L$Und$K$, wodurch die doppelte Legendre-Transformation (5.63) implementiert wird.