Was hat Schrödinger dazu inspiriert, seine Gleichung herzuleiten?

Schrödinger folgte Hamilton, deBroglie und Einstein. DeBroglie hatte festgestellt, dass Materiewellen einer Beziehung zwischen Impuls und Wellenzahl sowie Energie und Frequenz gehorchen.

$$E = \hbar \omega$$ $$p = \hbar k$$

Für ebene Wellen der Form$\psi(x) = e^{ikx - i \omega t}$, erfahren Sie, dass die$\omega$und die$k$der Welle sind die Energie und der Impuls bis zu einem Einheitenumrechnungsfaktor von$\hbar$. Einstein bemerkte dann, dass die DeBrodlie-Wellen der Hamilton-Jacobi-Gleichung in einer halbklassischen Näherung gehorchen, und Schrödinger machte sich einfach daran, nach einer echten Wellengleichung zu suchen, die die Hamilton-Jacobi-Gleichung reproduzieren würde, wenn Sie Phasen verwenden.

Aber das Endergebnis ist einfacher als die Hamilton-Jacobi-Gleichung. Bei reinen Sinuswellen hängen Energie und Wellenzahl zusammen

$$E = {p^2\over 2m}$$

Das bedeutet, dass die ebene Welle die freie Schrödinger-Gleichung erfüllt

$$i\hbar {\partial\over \partial t} \psi = -{\hbar^2 \over 2m} \nabla^2\psi$$

Sie können überprüfen, ob dies für eine Sinuskurve die Energie / Impuls-Beziehung reproduziert.

Wenn es ein zusätzliches Potential gibt, sollten die Wellenfronten bei kurzen Wellenlängen dem sich ändernden Potential folgen, um die Newtonschen Gesetze zu reproduzieren. Dies geschieht, indem das Potenzial auf die offensichtlichste Weise hinzugefügt wird

$$i\hbar {\partial\over \partial t} \psi = -{\hbar^2\over 2m} \nabla^2 \psi + V(x) \psi$$

Wann$V(x) = A - F\cdot x$, wobei A ein konstanter Offset und B ein konstanter Kraftvektor ist, wird die lokale Frequenz in Richtung eines größeren Potentials verlangsamt, wodurch die Wellenfronten gemäß den Newtonschen Gesetzen nach unten gekrümmt werden.

Eine Möglichkeit zu sehen, dass die Gleichung die Newtonschen Gesetze reproduziert, kommt von Fourier-Transformationen. Es gibt eine Gruppengeschwindigkeitsformel für die Bewegung von Wellenpaketen, die bei einer bestimmten Frequenz und Wellenzahl zentriert sind:

$${dx\over dt} = {\partial \omega \over \partial k} = {p\over m}$$

Diese Gleichung kommt von der Idee des Schwebens – Wellen mit einer gemeinsamen Frequenz bewegen sich zusammen, aber der Ort der konstruktiven Interferenz ändert sich entsprechend der Ableitung der Frequenz in Bezug auf die Wellenzahl. Identifiziert man die Frequenz mit der Energie und die Wellenzahl mit dem Impuls, reproduziert diese Beziehung eine der Hamiltonschen Bewegungsgleichungen als Bewegungsgesetz für die Wellenpaketlösungen der Schrödinger-Gleichung (im Grenzbereich kurzer Wellenlängen).

Die andere Hamilton-Gleichung kann durch Fourier-Transformation gefunden werden, die das Wellenpaket in k zu einem Wellenpaket in x macht, und die Gruppengeschwindigkeitsbeziehung wird zur Gleichung für die Änderung von k als Funktion der Zeit.

$${dp\over dt} = - {\partial \omega \over \partial x} = -{\partial V\over \partial x}$$

Schrödingers Gleichung ist wirklich das erste, was Sie vermuten würden, und es besteht keine Notwendigkeit, Schrödingers geradlinige Ideen einschüchternd oder unumstößlich aussehen zu lassen. Es ist viel transparenter als Heisenbergs damalige Argumentation oder Einsteins.

Schrödingers Herleitung ist eine gute Vermutung, da wir aus dem bekannten Doppelspaltexperiment wissen, dass sich Elektronen genauso verhalten wie Photonen, die sich wie Wellen und Teilchen verhalten können. Wir wissen auch, dass die Verteilung von Photonen proportional zur Intensität des elektromagnetischen Feldes ist und das Superpositionsprinzip das Intensitätsmuster erklärt. Für Photonen haben wir$E(x)=Ae^{iT(x)/\omega}$, wo$E(x)$ist das elektrische Feld bei$x$,$A$ist eine Amplitude,$\omega$ist eine Konstante mit der Dimension Zeit und$T(x)$ist die Zeit, die eine Welle benötigt, um sich von der Quelle zum Punkt auszubreiten$x$. Intensität des elektrischen Feldes ist$|E(x)|^2$.

Aus der geometrischen Optik wissen wir, dass der Lichtstrahl der Weg ist, der in kürzester Zeit zurückgelegt werden kann$T$. Aus der Mechanik wissen wir, dass Teilchen den Weg der geringsten Wirkung gehen$S$. Mit diesen Ideen können wir davon ausgehen, dass das Feld des Elektrons ist$\psi(x,t)=Ae^{iS(x,t)/\hbar}$, wo$\psi(x,t)$ist das Elektronenfeld bei$x$,$A$ist eine Amplitude,$\hbar$ist eine Konstante mit Wirkungsdimension und$S(x,t)$ist die Aktion für einen Pfad von der Quelle zum Punkt$x$. Intensität des Elektronenfeldes ist$|\psi(x,t)|^2$und es ist die Wahrscheinlichkeitsdichte für den Ort des Elektrons. Wir wissen auch, dass die Aktion der Hamilton-Jacobi-Gleichung gehorcht, die in diesem Fall die Form annimmt$S_t+S^2_x/2m+V=0$. Wenn wir einfügen$\psi(x,t)$in die vorherige Gleichung haben wir - voilà - die Schrödinger-Gleichung mit der statistischen Interpretation.

Die eigentliche Grundlage für die bisherige "Ableitung" ist die Entsprechung von Elektronen und Photonen im Doppelspaltexperiment.

Wie Wigner betonte, geht es in der Quantenmechanik um Fourier-Transformationen und bei der Relativitätstheorie um Lorentz-Transformationen. Wenn eine ebene Wellenfunktion in der Schrödinger-Gleichung verwendet wird, handelt es sich um eine Fourier-Basisfunktion und Sie erhalten daher die Fourier-Transformation der Differentialgleichung. Wird die nichtrelativistische Energieerhaltungsgleichung mit einer Funktion der Fourier-Variablen Φ(E,p) multipliziert und dann invers transformiert, erhält man die Schrödinger-Gleichung zurück.

Auch wenn Sie sich faseroptische Gleichungen ansehen, sehen Sie, dass sie auch den paraxialen Schrödinger-Gleichungen für Optik (Photonen) entsprechen. Die paraxialen Gleichungen ermöglichen eine Querkopplung zwischen Wellenleitern, und dasselbe passiert zwischen Atomen und Molekülen. Die Atom- und Molekülorbitale sind viel raffinierter als Glasfasern oder Quantenpunkte und weisen auf die Raffinesse der molekularen Elektronik und die Erklärung lebender Strukturen hin. Siehe den Artikel von Man'ko: Analogs of Time-Dependent Quantum Phänomens in Optical Fibers_Margarita A. Man'ko 2007, IOP Science. Siehe auch die Ableitung der Schrödinger-Wellengleichung in Abschnitt 4.4 von George und David Beards QUANTUM MECHANICS WITH APPLICATIONS; eigentlich eine Ausgabe von 1970.

Die Schrödinger-Gleichung ist von der HAMILTON-JACOBI-GLEICHUNG abgeleitet, ich denke, dass Hamilton eine ähnliche Idee hatte, als er seine Gleichung mit der Eikonal-Gleichung verglich

$$|\nabla S | =n(r)$$