Was ist der beste Beweis dafür, dass 1 + 1 = 2 von einer Person, die nicht Bertrand Russell war?

Die Frage sagt alles. Wer sind außer Russell und Whitehead die Philosophen und Mathematiker, die erfolgreich gezeigt haben, dass 1+1=2 ist? Extra-Bonus (dh ein warmes Gefühl im Inneren), der für die Identifizierung des Buches oder Aufsatzes vergeben wird, in dem der Beweis erscheint.

Diese Frage ist etwas fehlgeleitet. Wenn Sie von einem Beweis für so etwas sprechen, sprechen Sie wirklich davon, es mit der axiomatischen Methode zu beweisen, richtig? Aber die axiomatische Methode in einem ganz formalen Rahmen wurde erst bei Frege eingeführt. Vorher war es den Menschen nicht so wichtig, eine strenge mathematische Grundlage zu schaffen wie später. Sie werden also kein Buch finden, in dem Menschen arithmetische Identitäten basierend auf Grundprinzipien so rigoros ausarbeiten, wie sie es getan haben.
Mauros Antwort weist wirklich auf ein anderes Problem bei der Formulierung dieser Frage hin. PM beweist 1 + 1 = 2 auf die gleiche Weise, wie Sie es in PA tun, wie Dedekind und Peano es getan haben, aber es muss zuerst viel mehr beweisen. PM ist nicht signifikant, weil es 1 + 1 = 2 bewies, es ist signifikant, weil es ein vollständiges System mathematischer Logik war, das in der Lage war, eine formale axiomatische Methode zu verwenden, um alle Tautologien und viele mathematische Aussagen zu beweisen. Vielleicht sind Sie wirklich nur besorgt darüber, wer sonst noch eine sehr grundlegende arithmetische Identität bewiesen hat, aber ich denke, dies ist ein klassisches Beispiel dafür, dass der Wald vor lauter Bäumen fehlt.
Schade, dass Kant geradewegs 7+5=12 genommen hat. Aber Peano hat es noch besser gemacht, er hat vier Seiten damit verbracht zu beweisen, dass 1 eine Zahl ist und die Pythagoräer beschämt. Denn sie hielten eine Zahl für eine Vielzahl von Einheiten, und daher ist die Einheit keine Zahl.
@Conifold - "Peano hat vier Seiten damit verbracht zu beweisen, dass 1 eine Zahl ist". Woher ?
@MauroALLEGRANZA Jetzt, wo ich darüber nachdenke, war es wahrscheinlich Couturats Nacherzählung in Les principes des mathematiques (1904) in Peanos Formalismus. Poincare macht sich in Les mathematiques et la logique (1905) darüber lustig: „Wenn es vier Seiten braucht, um zu beweisen, dass 1 eine Zahl ist, wie viel würde es brauchen, um einen nicht-trivialen Satz zu beweisen“ (aus dem Gedächtnis).
@Conifold - Danke. Vielleicht ... in Peanos Arithmetices principia (unten verlinkt) ist 1 ∈ N Axiomata 1 (Seite 1).
Für das, was es wert ist, hier ist mein formaler Beweis, der die add-Funktion aus Peanos Axiomen konstruiert und add(1,1)=2 beweist dcproof.com/Add1plus1.htm (760 Zeilen)

Antworten (1)

In einem modernen axiomatischen Ansatz folgt aus der Definition von 2 als Nachfolger von 1 :

2=s(1) (auch geschrieben: 2=1' ).

Siehe Giuseppe Peano, Arithmetices principia: nova methodo exposita (1889) , Seite 1.

Die grundlegende Maschinerie war bereits in Richard Dedekind, Was sind und was sollen die Zahlen ? (1893) , para.XI : Addition von Zahlen :

Die Summe wird vollständig von den Bedingungen bestimmt

m + 1 = m' ,

m + n' = (m + n)' .

Wenden wir die erste Bedingung auf m=1 an , erhalten wir:

1+1=1' .

Peanos Ansatz leitet sich vermutlich von Leibniz' bekanntem Beweis von 2+2=4 ab .

Siehe New Essays on Human Understanding (1704) , Buch IV, VII, 10 [englische Übersetzung, Seite 414]:

Definitionen . (1) Zwei ist eins und eins.

(2) Drei ist zwei und eins.

(3) Vier ist drei und eins.

Leibniz führt nur ein Gleichheitsaxiom ein:

Axiom . Wenn Gleiches durch Gleiches ersetzt wird, bleibt die Gleichheit bestehen,

und daher ist der Beweis nach modernen Maßstäben unvollständig, da er sich auf die implizit angenommene Assoziativität der Summe stützt.

Eine weitere Quelle für Peanos Arbeit war Hermann Grassmann .

Grassmanns Lehrbuch der Mathematik (1861) enthält ein einigermaßen vollständiges Axiomensystem für die Arithmetik.

Siehe Hans-Joachim Petsche, Hermann Grassmann: Biographie , Birkhäuser (2009), Seite 198-ff.

Dieser zitierte Abschnitt „Summe“ impliziert m+n'=(m+n)'=m'+n', wobei Sie n' von beiden Seiten subtrahieren und am Ende m=m' LOL erhalten
@EternalPropagation - (m+n)'=m'+n' ist falsch. Der Nachfolger von (2+3) ist 6, während der Nachfolger von 2 3 ist und der Nachfolger von 3 4 und 3+4=7 ist.
@MauroALLEGRANZA Der Link zu Leibniz beginnt den Text auf S. 515. Ist der Verweis auf S. 414 korrekt?
Was ist der beste Beweis dafür, dass 1 + 1 = 2 von einer Person, die nicht Bertrand Russell war?
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v