Was ist der Grund dafür, dass der Teilchen-Loch-Symmetrieoperator anti-unitär ist?

Die Teilchen-Loch-Symmetrie ist nur im Ein-Teilchen-Raum antilinear. Es ist linear und einheitlich , wenn es auf den Vielteilchen-Fock-Raum einwirkt. Siehe Fußnote nach Gl. 4 in S.Ryu, A.Schnyder, A.Furusaki, A.Ludwig, Topological Isolators and Supraconductors: Ten-Fold Way and dimensional Hierarchie New J. Phys. 12, 065010 (2010). ArXiv:0912.2157.

Angenommen, der Ein-Teilchen-Hamiltonoperator hat die Eigenschaft that

$$C H^* C^{-1}= -H$$ für eine unitäre Matrix$C$. Dann
$$Hu_n=\lambda_n u_n\quad\Rightarrow \quad HCu_n^* = -\lambda_n Cu^*_n,$$ also wann$\lambda$nicht Null ist, kommen die Einteilchen-Eigenfunktionen in entgegengesetzten Eigenwertpaaren vor. In Abwesenheit von Nullenergie stellt sich der Grundzustand ein$|0\rangle$hat alle negativen Energiezustände besetzt und ist nicht entartet.

Wir definieren die Aktion eines unitären Teilchen-Loch-Operators${\mathsf C}$auf dem Vielkörper-Fockraum durch

$${\mathsf C}\Psi_\beta {\mathsf C}^{-1}= \Psi_\alpha^\dagger C_{\alpha\beta}, \quad {\mathsf C}\Psi^\dagger_\beta {\mathsf C}^{-1}= C^\dagger_{\beta\alpha}\Psi_\alpha.$$

Wenn
${\mathsf C}$wirkt auf den Hamilton-Operator, den wir haben

$${\mathsf C}\hat H {\mathsf C}^{-1}= {\mathsf C}\Psi^\dagger_\alpha H_{\alpha\beta} \Psi_\beta {\mathsf C}^{-1}\\ ={\mathsf C}\Psi^\dagger_\alpha {\mathsf C}^{-1}{\mathsf C}H_{\alpha\beta}{\mathsf C}^{-1}{\mathsf C} \Psi_\beta {\mathsf C}^{-1}\\ = {\mathsf C}\Psi^\dagger_\alpha {\mathsf C}^{-1}H_{\alpha\beta}{\mathsf C} \Psi_\beta {\mathsf C}^{-1}\\ = C^\dagger_{\alpha\rho}\Psi_{\rho} H_{\alpha\beta} \Psi^\dagger_\sigma C_{\sigma\beta}\\ =- \Psi^\dagger_\sigma C_{\sigma\beta} H_{\alpha\beta}C^\dagger_{\alpha\rho}\Psi_{\rho}\\ =- \Psi^\dagger_\sigma C_{\sigma\beta} H^T_{\beta \alpha}C^\dagger_{\alpha\rho}\Psi_{\rho}\nonumber\\ =- \Psi^\dagger_\sigma C_{\sigma\beta} H^*_{\beta \alpha}C^\dagger_{\alpha\rho}\Psi_{\rho}\nonumber\\ =+ \Psi^\dagger_\sigma H_{\sigma\rho} \Psi_{\rho}.\\ = \hat H.$$ Also die Ein-Teilchen-Transformation weiter$H$lässt die Vielteilchen-Hamiltonsche Invariante.

Beachten Sie, dass wir verwendet haben$C^{*\dagger} = C^T$und die Spurlosigkeit (Zeile 5$\to$6) und Hermitizität von$H$in den obigen Manipulationen. Noch wichtiger, und trotz des Erscheinens von ``$*$" in der Aktion auf$H$, der Vielteilchenoperator${\mathsf C}$muss linear auf den Fockraum wirken :

$${\mathsf C}(\lambda |\psi_1\rangle+\mu |\psi_2\rangle)= \lambda {\mathsf C}|\psi_1\rangle+\mu {\mathsf C}|\psi_2\rangle.$$ Die Linearität wird im Schritt benötigt $${\mathsf C}H_{\alpha\beta}{\mathsf C}^{-1}= H_{\alpha\beta}.$$

Ich finde es konzeptionell einfacher, an Partikel-Loch-Symmetrie zu denken, wie sie in der zweiten Quantisierungsnotation definiert ist. In der Tat: Die eigentliche Bedeutung einer Teilchen-Loch-Transformation sollte bedeuten, dass sie Teilchen und Löcher vertauschen sollte, dh wir wollen$\mathcal C c^\dagger \mathcal C = c$(Wo$\mathcal C^2 = 1$). Die Antieinheitlichkeit folgt dann aus dem Wollen$\mathcal C$die zu bewahren$U(1)$Symmetrie von Fermionen: wenn$c \to e^{i\alpha} c$, Dann$\mathcal C (e^{-i\alpha} c^\dagger )\mathcal C = e^{i\alpha} c$. Dh wir wollen das$\mathcal C e^{-i\alpha} \mathcal C = e^{i\alpha}$. Dies definiert dann natürlich und vollständig die Partikel-Loch-Transformation$\mathcal C$!

Wie definiert man dann Invarianz unter dieser Symmetrie? Naiv würden wir sagen$\mathcal C H \mathcal C = H$. Dies ist jedoch nicht die richtige Vorstellung. Um dies zu sehen, nehmen Sie den einfachen Fall von$H = \sum t_{ij} c_i^\dagger c_j + \mu c_i^\dagger c_i$. Intuitiv sehen wir, dass dies Teilchen-Loch-symmetrisch sein sollte, wenn$\mu = 0$. (Um sich selbst zu überzeugen, betrachten Sie den Fall des Nächste-Nachbar-Sprungs, in diesem Fall wissen wir, dass das Spektrum nur ein Kosinus ist, der bei halber Füllung eindeutig teilchenlochsymmetrisch ist, d.h$\mu = 0$.) Unter Verwendung unserer obigen Definition,$\mathcal C H\mathcal C = \sum t_{ij}^* c_i c_j^\dagger + \mu c_i c_i^\dagger$, was nach den fermionischen Kommutierungsregeln dasselbe ist wie$- \sum \left( t_{ji}^* c_i^\dagger c_j + \mu c_i^\dagger c_i \right) + \mu N_\textrm{sites}$. Dann wieder dadurch, dass$H$muss hermitesch sein, das wissen wir$t_{ji}^* = t_{ij}$, das sehen wir also

$$\mathcal C H\mathcal C = -H + \mu N_\textrm{sites}$$

Dh im Fall der Teilchen-Loch-Symmetrie haben wir das$\mathcal C H\mathcal C = -H$. Es ist dann natürlich, dies als unsere Definition der Teilchen-Loch-Symmetrie zu nehmen!

Eine grundlegendere Antwort auf die Frage, warum der Teilchen-Loch-Operator so genommen wird, ist ein Blick auf QFT. Da haben wir Teilchen und Antiteilchen und können eine Ladung zuordnen$+q$zu einem Teilchen und$-q$zum Antiteilchen. Also ein Operator, der Teilchen und Antiteilchen vertauscht$\mathcal{C}$befriedigen muss$\mathcal{C}|p\rangle=|\bar{p}\rangle$Also, wenn wir einen Gebührenoperator haben$\mathcal{Q}$es muss genügen:$\mathcal{Q}|p\rangle=q|p\rangle$Und$\mathcal{Q}|\bar{p}\rangle=-q|\bar{p}\rangle$. Jetzt wenden wir die an$\mathcal{C}$Operator:

$$\mathcal{C} \mathcal{Q}|p\rangle= \mathcal{C} q|p\rangle= q|\bar{p}\rangle$$ Während gleichzeitig: $$\mathcal{Q}\mathcal{C}|p\rangle= \mathcal{Q}|\bar{p}\rangle= -q|\bar{p}\rangle$$ So müssen wir haben $$\mathcal{Q}\mathcal{C}=-\mathcal{C} \mathcal{Q}$$ In diesem Sinne, wenn ein Betreiber damit einverstanden ist, wie sich die Gebühren ändern$\mathcal{C}$Dann: $$\mathcal{C}^{-1}\mathcal{A}\mathcal{C}=-\mathcal{A}$$ Nun können wir dies auf den Hamiltonian anwenden, beachten Sie, dass wir dies nicht haben können$\mathcal{H}\mathcal{C}=\mathcal{C} \mathcal{H}$da dies gleichzeitige Eigenzustände des Hamilton-Operators und implizieren würde$\mathcal{C}$, aber die einzigen Eigenzustände von$\mathcal{C}$sind Teilchen, deren Antiteilchen selbst da sind$\mathcal{C}^2=1$. Um die Konsistenz von Teilchen und Antiteilchen herzustellen, muss der Hamiltonoperator also genügen: $$\mathcal{C}\mathcal{H}\mathcal{C}=-\mathcal{H}$$ Dies ist seit der Wartung tatsächlich mit der obigen Antwort verknüpft$U(1)$Symmetrie impliziert also Ladungserhaltung$\mathcal{C}$muss antieinheitlich sein. Für den Fall kondensierter Materie nehmen wir zweckmäßigerweise Löcher als Antiteilchen von Elektronen, da sie eindeutig entgegengesetzte Ladungen haben. Dann folgt alles oben Gesagte.