Der beste Querneigungswinkel ist in der Tat 45°.

Es kann relativ leicht gezeigt werden, dass dies die engste Kurve für einen konstanten Anstellwinkel ergibt , wobei wir davon ausgehen, dass ein konstanter Anstellwinkel auch zu einem konstanten Sinkwinkel führt. Es wäre ziemlich schwer, es für konstante Geschwindigkeit zu zeigen, und es könnte in diesem Fall nicht einmal genau richtig sein.

Allerdings ist diese nicht wirklich von der Bestgeschwindigkeit zu trennen. Und die überraschende Antwort ist, dass die Stall -Geschwindigkeit (die ~19% beträgt ($\sqrt[4]{2}$) höher als im Geradeausflug) ergibt den kleinsten Höhenverlust beim Wenden bei gegebener Gradzahl.

Der Grund ist, dass der Luftwiderstand (in der Nähe der Stallgeschwindigkeit) proportional dazu ist$\frac{1}{v}$, aber der Wenderadius ist proportional zu$v^2$, wenn Sie also langsamer werden, nimmt der Radius schneller ab, als der Luftwiderstand (und damit die vertikale Geschwindigkeit) zunimmt.

Verweise:

• http://www.nar-associates.com/technical-flying/impossible/possible.html
• Ist es auch nur im Entferntesten möglich, ein einmotoriges Flugzeug mit einem Triebwerksausfall zurückzustellen?

Die gestellte Frage ist offen für Interpretationen, daher werde ich sie zunächst umformulieren, um eine Grundlage zu haben, auf der man aufbauen kann. Ihr letzter Absatz sagt mir, dass Sie den optimalen Querneigungswinkel wissen möchten, um das höchste Verhältnis von Wendegeschwindigkeit zu Höhenverlust bei einem Gleitflug bei einer bestimmten Fluggeschwindigkeit zu erzielen.

Spoiler: Da steilere Querneigungswinkel mehr Auftrieb erfordern und Flugzeuge mit besserem L/D effizienter bei der Erzeugung von Auftrieb sind, hängt der optimale Querneigungswinkel von den aerodynamischen Eigenschaften des Flugzeugs ab.

Was wird gegeben

• Segelflugzeug oder Motorflugzeug mit ausgefallenem Triebwerk. Die Polarität und das Gewicht sind bekannt und ändern sich nicht mit der Zeit.
• Fluggeschwindigkeit. Dies führt zu einem eingeschränkten Optimum - der absolut beste Querneigungswinkel erfordert eine geeignete Geschwindigkeit.

Was kann geändert werden

• Bankwinkel$\varphi$(offensichtlich - du fragst danach)
• Aufzug$L$(wieder offensichtlich. Du willst in der Luft bleiben)

Lösung

Zuerst muss ich das Verhältnis von Wendegeschwindigkeit zu Höhenverlust formulieren. Dieser muss dann bezüglich des Querneigungswinkels abgeleitet und auf Null gesetzt werden. Um eine ableitbare Polare zu haben, verwende ich die quadratische Polare wo$c_D = c_{D0}\cdot\frac{c_L^2}{\pi\cdot AR\cdot\epsilon}$.

Ich gehe weiterhin von einer koordinierten Wende aus, damit wir die Auftriebs- und Widerstandsgleichungen definieren können. Der Luftwiderstand wird durch Auswahl eines geeigneten Gleitpfadwinkels kompensiert$\gamma$um potentielle in kinetische Energie umzuwandeln, um die Geschwindigkeit konstant zu halten. Die Winkelgeschwindigkeit$\Omega$in einer Kurve mit dem Radius$R$ist

$$\Omega = \frac{v}{R} = \frac{g\cdot tan\varphi}{v} = \frac{g\cdot \sqrt{n_z^2-1}}{v}$$ Der Höhenverlust im Laufe der Zeit ist die vertikale Geschwindigkeit$v_z$, und dies kann aus der Geschwindigkeit berechnet werden$v$und Flugbahnwinkel$\gamma$: $$v_z = v\cdot sin\gamma$$ Seit$v$gegeben und konstant ist, können wir das Problem umformulieren als eine Maximierung der Wenderate über dem Flugbahnwinkel oder der Sinkgeschwindigkeit. Dies entspricht dem kleinsten Höhenverlust für eine gegebene Azimutänderung. $$\frac{\Omega}{v_z} = \frac{g\cdot tan\varphi}{sin\gamma}$$

Bevor wir dies ableiten, müssen wir ausdrücken$\gamma$bezüglich$\varphi$. Wenn wir die Freiheit hätten, die Geschwindigkeit anzupassen, könnten wir direkt nach dem optimalen Querneigungswinkel bei optimalem L/D lösen. Jetzt ist die Geschwindigkeit jedoch fest und L/D ist das, was das Flugzeug beim erforderlichen Auftrieb erzeugt. Da für Segelflugzeuge$sin\gamma = \frac{c_D}{c_L}$, wir können schreiben:

$$\frac{\Omega}{v_z} = \frac{g\cdot tan\varphi\cdot c_L}{c_{D0}+\frac{c_L^2}{\pi\cdot AR\cdot\epsilon}} = \frac{g\cdot sin\varphi\cdot \frac{m\cdot g}{q\cdot S}}{c_{D0}\cdot cos^2\varphi + \frac{\left(\frac{m\cdot g}{q\cdot S}\right)^2}{\pi\cdot AR\cdot\epsilon}}$$ mit$c_L = \frac{m\cdot g}{q\cdot S\cdot cos\varphi}$. Da der Staudruck$q$konstant ist, können wir nun bezüglich des Querneigungswinkels ableiten. Mit der Kettenregel erhalten wir einen Bruch, und da dieser auf Null gesetzt wird, reicht es aus, die Bedingung zu suchen, wenn der Zähler Null ist: $$g\cdot cos\varphi\cdot \frac{m\cdot g}{q\cdot S}\cdot\left({c_{D0}\cdot cos^2\varphi + \frac{\left(\frac{m\cdot g}{q\cdot S}\right)^2}{\pi\cdot AR\cdot\epsilon}}\right) = g\cdot sin\varphi\cdot \frac{m\cdot g}{q\cdot S}\cdot 2\cdot c_{D0}\cdot sin\varphi\cdot cos\varphi$$ $$\frac{\left(\frac{m\cdot g}{q\cdot S}\right)^2}{c_{D0}\cdot\pi\cdot AR\cdot\epsilon} = 2\cdot sin^2\varphi - cos^2\varphi = \frac{1}{2} - \frac{3}{2}cos2\varphi$$ $$\varphi = \frac{1}{2}\cdot arccos\left(\frac{1}{3} - \frac{2\cdot\left(\frac{m\cdot g}{q\cdot S}\right)^2}{3\cdot c_{D0}\cdot\pi\cdot AR\cdot\epsilon}\right)$$ Das sieht offensichtlich nicht falsch aus, aber ich hätte den Weg zum Ergebnis durchaus vermasseln können. Wenn Sie die Zahlen für ein Ihnen bekanntes Flugzeug einsetzen, können Sie überprüfen, ob das Ergebnis sinnvoll ist. Zumindest erhält man bei zu geringer Fluggeschwindigkeit ein negatives Argument für den Kosinus, was mathematisch einen Rollwinkel von >90° bedeutet und als zu langsam für diese Kurve interpretiert werden kann.

---

BEARBEITEN

Jetzt haben wir eine ähnliche Frage , aber mit Geschwindigkeit und Rollwinkel als Variablen. Offensichtlich müssen wir jetzt beides in Bezug auf Geschwindigkeit und Rollwinkel ableiten. Aber es macht mehr Spaß, die Ergebnisse über diese beiden als Konturdiagramm zu zeichnen. Ich musste dies nur tun, da mehrere Antworten hier behaupten, dass der optimale Winkel 45 ° beträgt. Ebenso offensichtlich ist dies zu einfach.

Zuerst die Mathematik: Ich gehe von denselben Gleichungen wie oben aus und füge einen Term für Wind hinzu ($w_z$), was das Problem mit steigender oder sinkender Luftmasse verstärkt.

$$∆h = \frac{\pi\cdot v}{g\cdot tan\phi}\cdot(v_z+w_z) = \frac{\pi\cdot v}{g\cdot\sqrt{n_z^2-1}}\cdot\left(\frac{v\cdot c_D}{c_L}+w_z\right)$$ Den Auftriebskoeffizienten ausdrücken als $$c_L = \frac{2\cdot n_z\cdot m\cdot g}{\rho\cdot S\cdot v^2}$$ bringt uns zu $$∆h = \frac{\pi}{g^2\cdot\sqrt{n_z^2-1}}\cdot \left(\frac{\rho\cdot S\cdot v^4\cdot c_{D0}}{2\cdot n_z\cdot m} + \frac{2\cdot n_z\cdot m\cdot g^2}{\pi\cdot\rho\cdot S\cdot AR\cdot\epsilon} + w_z\cdot v\cdot g\right)$$ Nomenklatur:
$\kern4mm g\kern6mm$Schwerkraftbeschleunigung
$\kern4mm n_z\kern4mm$vertikaler Belastungsfaktor
$\kern4mm \rho\kern6mm$Luftdichte
$\kern4mm S\kern5mm$Flügelfläche
$\kern4mm v\kern6mm$Fluggeschwindigkeit
$\kern4mm c_{D0}\kern2mm$Nullauftriebs-Widerstandsbeiwert
$\kern4mm m\kern5mm$Flugzeugmasse
$\kern4mm AR\kern1mm$Seitenverhältnis des Flügels
$\kern4mm \epsilon\kern6mm$Oswald Faktor

Die folgende Abbildung ist das in R dargestellte Ergebnis. Da ich die vollständige Wertematrix für das Konturdiagramm lesen muss, wird der Bereich mit niedriger Geschwindigkeit und hohem Querneigungswinkel mit dem Ergebnis einer strengen Straffunktion gefüllt, also ignorieren Sie bitte die Werte rechts und unterhalb der roten Linie.

Konturdiagramm der Höhenverluste eines Flugzeugs vom Typ A320 bei einer 180°-Kurve auf Meereshöhe und MTOW (78 Tonnen), kein Wind. X ist der Querneigungswinkel in Grad und Y ist die Fluggeschwindigkeit in m/s. Eigene Arbeit.

Wie man sieht, wird das Minimum (ca. 170 m) kurz vor dem Strömungsabriss bei hoher Schräglage und Geschwindigkeit erreicht. Leider benötigen Sie die Kunstflugversion des A320, um dies sicher zu fliegen.

Der beste Querneigungswinkel für ein Gleitflugzeug zur Optimierung sowohl der Wendegeschwindigkeit als auch der Sinkgeschwindigkeit kann als 45° verallgemeinert werden.

Der Grund dafür ist, dass 45° der Punkt ist, an dem die vertikale Auftriebskomponente gleich der horizontalen Auftriebskomponente ist.

Mit anderen Worten, ein Querneigungswinkel von 45° erzeugt die größte zentripetale Drehkraft (horizontaler Auftrieb), während die beste Sinkrate beibehalten wird (als Funktion der vertikalen Komponente des Auftriebs). Ein geringerer Querneigungswinkel führt zu einer besseren Sinkrate, aber zu einer geringeren Wenderate, die mit einer größeren Rate abnimmt, als sich die Sinkrate verbessert. Umgekehrt führt ein größerer Querneigungswinkel zu einer besseren Wenderate, aber zu einer größeren Sinkrate, die mit einer größeren Rate zunimmt, als sich die Sinkrate verbessert.

Dieses Phänomen ist lediglich eine Funktion des Querneigungswinkels, völlig unabhängig von anderen Konstruktions- oder Belastungsfaktoren, und gilt daher für alle Starrflügelflugzeuge.

Bearbeiten: Dies mag eine nominelle Antwort sein, die geringfügige Abweichungen in den L / D-Kurven nicht berücksichtigt, aber sie erfüllt meine betrieblichen Anforderungen als Pilot, der einen Notfall erlebt, bei dem ich während einer Kurve und meiner 45 ° -Böschung "bestes Gleiten" beibehalten werde ist wahrscheinlich +/- 5°.

Es gibt keine allgemeine Lösung, zumindest ohne weitere Annahmen.

Was ich bis jetzt habe

• Das Problem hängt sowohl vom Querneigungswinkel als auch von der Fluggeschwindigkeit ab

• Aus Querneigung und Fluggeschwindigkeit können wir die Winkelgeschwindigkeit (Wenderate) berechnen

$$\omega = \frac{g \cdot tan~\theta}{v_H}$$

• Wir können die vertikale Geschwindigkeit aus der (querneigungskorrigierten) Polarkurve nachschlagen

$$v_V = \frac{f(v_H \cdot \sqrt{cos~\theta~~})}{\sqrt{cos~\theta~~}}$$

• Wir können das Verhältnis berechnen$\frac{\omega}{v_V}$die der Asker für jede Fluggeschwindigkeit und jeden Querneigungswinkel maximieren möchte.

Ohne jegliches Wissen über das Polare in analytischer Form oder Annahmen stecken wir hier fest.

Nachweisen

Lassen$\theta$,$a_N$,$a_H$,$a_V$Querneigungswinkel, Normal-, Horizontal- und Vertikalbeschleunigung sein. Ihre Beziehungen sind:

$$a_V = a_N \cdot cos~\theta$$ $$a_H = a_N \cdot sin~\theta$$

mit$a_V = 1g$

$$a_N = \frac{1}{cos~\theta} \cdot 1g$$

$$a_H = a_N \cdot sin~\theta = \frac{sin~\theta}{cos~\theta} \cdot 1g = g \cdot tan~\theta$$

Lassen$r$und$\omega$Wenderadius und Winkelgeschwindigkeit sein. Lassen$v_H$die Fluggeschwindigkeit sein. Die Horizontalbeschleunigung ist in unserem Zug die Zentripetalbeschleunigung, also:

$$\frac{v_H^2}{r} = g \cdot tan~\theta$$

Die Winkelgeschwindigkeit (Turnrate) beträgt:

$$\omega = \frac{v_H}{r} = \frac{g \cdot tan~\theta}{v_H}$$

Lassen$v_V$sei die Sinkrate, die eine Funktion ist$f$der Fluggeschwindigkeit. Die Funktion$f$wird üblicherweise als Polarkurve angegeben . Für andere Lastfaktoren als$1g$, müssen wir es mit der Quadratwurzel des Lastfaktors skalieren$k$.

$$k = \frac{1}{\sqrt{cos~\theta~~}}$$

$$v_V = k \cdot f \left( \frac{v_H}{k} \right)$$

Würde das mathematische Problem nicht etwa so aussehen?

$$V = L\cos\theta$$

$$H = L\sin\theta$$

$$R_S = k_1 (W - V)$$

$$R_T = k_2 H$$

Maximieren$R_T / R_S$in Gedenken an$\theta$konstant gegeben$L, k_1, k_2, W$

Notation:

• $\theta$ist Bankwinkel
• $L$ist Aufzug
• $H, V$sind horizontale und vertikale Komponenten des Aufzugs
• $W$ist Gewicht
• $R_S$ist die Sinkrate
• $R_T$ist Wenderate
• $k_1, k_2$sind positive Konstanten

Die Mathematik:

$R_T / R_S$wertet zu

$$\frac{\frac{k_2 L}{k_1}\sin\theta}{W - L \sin\theta}$$

Maximieren Sie diesen Ausdruck in Bezug auf$\theta$.

PS. Wenn ich rechne, bekomme ich die$\theta$das maximiert die Wenderate pro Sinkrate als 90-Grad-Querneigungswinkel.

Offensichtlich bringe ich entweder meine Mathematik oder mein Modell durcheinander. Ich muss mich irren. Vielleicht bestand mein Fehler darin, mitzufahren$L$als Konstante? Ich nehme an$L$wird sich auch mit der Bank ändern?

Außerdem denke ich, dass die Stalleigenschaften eine Rolle spielen sollten? Vielleicht würde diese zusätzliche Einschränkung eine Bank im maximalen Winkel bedeuten, die Sie nicht aufhalten wird?

PS. Dies ist nur eine Rückseite der Hüllkurvenschätzung. Ich bin wahrscheinlich naiv, wenn ich die Komplexität des Problems nicht berücksichtige.

Ich füge eine weitere Antwort hinzu, die viel zu einfach aussieht, aber ich kann nicht erkennen, warum sie falsch ist.

Hier geht:

Der Begriff, den wir maximieren möchten, ist "kleinster Höhenverlust für eine bestimmte Azimutänderung" und dies kann als die folgende Ausleihlogik von @PeterKampfs gezeigt werden:

$$\frac{\omega}{v_z}=\frac{1}{R * sin \phi}$$

wo$\phi$ist der Gleitwinkel.

Da der Gleitwinkel bekannt ist, müssen Sie ihn minimieren$R$um den Begriff "kleinster Höhenverlust für eine gegebene Azimutänderung" zu maximieren. Aber

$$R=\frac{v^2}{g*tan \theta}$$

Also um R zu minimieren maximieren$tan \theta$& daher maximieren$\theta$. Also empfehle ich die Bank so gut es geht.

Aber es gibt eine zusätzliche Einschränkung, die durch die Tatsache eingeführt wird, dass Sie (offensichtlich) nicht ins Stocken geraten dürfen. Sie müssen maximal verwenden$\theta$aber nicht oben$\theta_{stall}$

Lassen Sie die Stall-Geschwindigkeit ohne Bank sein$v_{stall}$. Unter einer überhöhten Wende$\theta$die Überziehgeschwindigkeit steigt auf:

$$v_{stall}^{banked}=v_{stall}*\sqrt{n}$$

wo$n$ist der Ladefaktor.

$$n=\frac{L}{mg}=\frac{1}{cos \theta}$$

Daher in einer Steilkurve$\theta$Die Stallgeschwindigkeit wird sein:

$$v_{stall}^{banked}=\frac{v_{stall}}{\sqrt{cos \theta}}$$

Daher ist der maximale Querneigungswinkel derjenige, den Sie verwenden sollten, und das wird sein:

$$\theta=arccos \left( \left(\frac{v_{stall}}{v}\right)^2 \right)$$