Wir gehen davon aus, obwohl ich glaube, dass darüber diskutiert werden kann, dass Zenos „Dichotomie“-Paradoxon anscheinend „unwirklich“ ist. Wir können jede gegebene Entfernung als die Summe eines unendlichen Regresses von immer kleineren Entfernungen behandeln, sodass die Person, die diese Entfernung zurücklegt, niemals ankommt oder nicht einmal beginnt. Doch wir wissen, dass dies nicht das ist, was wir erleben. Aristoteles und viele andere haben Lösungen bereitgestellt.
Richardsons Paradox scheint mehr oder weniger dasselbe zu sein. Wenn wir die "Küste von England" als Summe kleiner und kleinerer fraktaler Einheiten oder "Entfernungen" messen, wird die Länge der Küste ins Unendliche immer größer. Dennoch handelt es sich um ein "echtes" Phänomen, wie Richardson bei tatsächlichen Küstenmessungen in der Kartographie feststellte.
Ich gehe also davon aus, dass der Zeitfaktor in der "Dichotomie" den Unterschied macht? Als Bewegung behandelt, dividieren wir die Entfernungseinheiten durch Zeiteinheiten und gelangen so zu einer sich schneidenden definierten "Grenze", wie in der Infinitesimalrechnung. Aber wie würde das mit der "Coastline" funktionieren? Ich habe das Gefühl, dass dies ziemlich einfach ist, aber ein mentales Toolkit erfordert, das mir fehlt. Übrigens denke ich nicht, dass es hier wirklich um Richardsons "Fraktale" geht.
(Abgesehen davon versuche ich, verschiedene Messparadoxien in Bezug auf die Messung des „Werts“ der Lohnarbeit in Zeiteinheiten und des kumulativen „Werts“ des Kapitals bei Marx durchzudenken, nur eine phantasievolle Übung. Aber ich bin nur ein Bastler und noch lange keine klar formulierte Frage dazu.)
Gibt es also eine Möglichkeit, Zeitlimits in das Küstenparadox einzuführen? Oder gibt es eine andere Auflösung? Oder eine klarstellende Möglichkeit, den Vergleich neu zu formulieren?
Das Problem ist nicht die Zeit, sondern ob die mathematische Reihe, die die Folge modelliert, konvergent oder divergent ist.
Im Fall von Zenos Pfeilparadoxon, in dem er argumentiert, dass der Pfeil niemals dort ankommt, ist die bei jedem Schritt zurückgelegte Entfernung die Hälfte der vorherigen Entfernung. Da die Gesamtstrecke x und der Anfangsschritt x /2 ist, ergibt sich die Reihe:
Abstand = x /2 + x /4 + x /8 + ....
Dies ist eine konvergente Reihe, deren Endpunkt nach unendlich vielen Iterationen gleich x ist .
Wenn die Gesamtflugzeit des Pfeils über die Entfernung x /2 gleich t /2 ist , führt dies zu der konvergenten Reihe:
Flugzeit = t /2 + t /4 + t /8 + ....
eine ähnliche konvergente Reihe, deren Endpunkt nach unendlich vielen Iterationen gleich t ist .
So summiert sich die unendliche Schrittfolge zu einer Flugzeit nicht von unendlich, sondern von t und Zeno besser schnell aus dem Weg gehen. Sein Paradoxon wird als Verständnisfehler entlarvt.
Das Küstenparadoxon beinhaltet jedoch eine fraktale Sequenz. Hier erhöht jeder Schritt beim Kräuseln die anfänglich "glatte" Länge l um ein festes Verhältnis r . Nach n Iterationen lautet die relevante Gleichung:
Gesamtlänge = l x r n
Für ein Fraktal ist r immer größer als eins, so dass, wenn die Anzahl der Fraktalschritte unbegrenzt zunimmt, rn gegen unendlich tendiert.
Vielleicht zum Glück hören Küsten auf, fraktal zu sein, sobald sie die Größe eines Felsens, Kieselsteins oder im schlimmsten Fall eines Sandkorns erreichen.
Die Antwort auf Ihre Frage liegt also in der Mathematik der angegebenen Reihe.
Konifold