Was ist die biblische Grundlage dafür, dass Petrus der Anführer der Apostel ist?

Die römisch-katholische Kirche erkennt an, ¹ dass die direkte biblische Grundlage für den Primat des Petrus aus Matthäus 16:17-19 stammt :

¹⁷ Jesus antwortete ihm: »Gesegnet bist du, Simon, Sohn Jonas. Denn nicht Fleisch und Blut hat euch das offenbart, sondern mein himmlischer Vater.
¹⁸ Und so sage ich dir: Du bist Petrus, und auf diesen Felsen werde ich meine Kirche bauen, und die Pforten der Unterwelt werden sie nicht überwältigen.
¹⁹ Ich gebe dir die Schlüssel zum Himmelreich. Was du auf Erden bindest, soll im Himmel gebunden sein; und alles, was du auf Erden löst, wird im Himmel gelöst sein.“

Außerdem gibt es diese Passage aus Johannes 21:15-17 :

¹⁵ Als sie mit dem Frühstück fertig waren, sagte Jesus zu Simon Petrus: Simon, Sohn des Johannes, liebst du mich mehr als diese? Er sagte zu ihm: „Ja, Herr, du weißt, dass ich dich liebe.“ Er sagte zu ihm: „Weide meine Lämmer.“
¹⁶ Dann sagte er ein zweites Mal zu ihm: Simon, Sohn des Johannes, liebst du mich? Er sagte zu ihm: „Ja, Herr, du weißt, dass ich dich liebe.“ Er sagte zu ihm: „Weide meine Schafe.“
¹⁷ Er sagte zum dritten Mal zu ihm: Simon, Sohn des Johannes, liebst du mich? Petrus war bekümmert, dass er zum dritten Mal zu ihm gesagt hatte: „Liebst du mich?“ und er sagte zu ihm: „Herr, du weißt alles; Du weißt, dass ich dich liebe." [Jesus] sagte zu ihm: „Weide meine Schafe.

Und wie DJClayworth in den Kommentaren feststellte , wird seine Rolle als Führer der Apostel (und später der frühen Kirche) nach Jesu Tod und Auferstehung deutlich gezeigt, insbesondere in der ersten Hälfte der Apostelgeschichte, die fast ausschließlich seine Mission enthält.

^{Anmerkung 1} : Im Katechismus der Katholischen Kirche heißt es :

⁵⁵² Simon Peter hält den ersten Platz im Kollegium der Zwölf; Jesus hat ihm eine einzigartige Mission anvertraut. Durch eine Offenbarung des Vaters hatte Petrus bekannt: "Du bist der Christus, der Sohn des lebendigen Gottes." Unser Herr erklärte ihm dann: "Du bist Petrus, und auf diesen Felsen werde ich meine Kirche bauen, und die Pforten des Hades werden sie nicht überwältigen." Christus, der „lebendige Stein“, sichert so seiner auf Petrus errichteten Kirche den Sieg über die Mächte des Todes zu. Aufgrund des Glaubens, den er bekannt hat, wird Petrus der unerschütterliche Fels der Kirche bleiben. Seine Mission wird es sein, diesen Glauben vor jedem Fehltritt zu bewahren und seine Brüder darin zu stärken.

⁵⁵³ Jesus vertraute Petrus eine besondere Vollmacht an: „Ich will dir die Schlüssel des Himmelreichs geben, und was du auf Erden bindest, soll auch im Himmel gebunden sein, und alles, was du auf Erden lösen wirst, soll auch im Himmel los sein.“ Die „Macht der Schlüssel“ bezeichnet die Autorität, das Haus Gottes, die Kirche, zu regieren. Jesus, der Gute Hirte, bekräftigte diesen Auftrag nach seiner Auferstehung: „Weide meine Schafe“. Die Macht zu „binden und zu lösen“ bedeutet die Autorität, Sünden loszusprechen, Lehrurteile zu fällen und Disziplinarentscheidungen in der Kirche zu treffen. Jesus vertraute diese Autorität der Kirche durch den Dienst der Apostel und insbesondere durch den Dienst des Petrus an, dem einzigen, dem er ausdrücklich die Schlüssel des Reiches anvertraute.

Mark Trapp hatte eine schöne biblische Antwort, aber hier ist noch ein Nugget:

Johannes 20:3-5 (DRA)
³ Petrus ging also hinaus und jener andere Jünger, und sie kamen zum Grab.
    ⁴ Und sie liefen beide zusammen, und jener andere Jünger lief Petrus davon und kam zuerst zum Grab.
    ⁵ Und als er sich niederbeugte, sah er die Leinentücher liegen; aber er ging nicht hinein.
   

Hier zeigt Johannes seine Ehrerbietung gegenüber Petrus, da er als Anführer der erste sein sollte, der das leere Grab inspiziert. Diese Ehrerbietung könnte nur am Alter liegen, aber es ist klar, dass John dachte, Petrus sei derjenige, der zuerst das Grab inspizieren sollte. Sonst wäre er A.) zuerst reingegangen und B.) hätte sich nicht die Mühe gemacht, so viele Jahre später darüber zu schreiben.