Was ist die fehlende Proportionalitätskonstante in der Magnetschwebeformel?

Wie Lurscher in einem Kommentar erwähnte, verwenden Sie die falschen Einheiten für die magnetische Suszeptibilität.$\chi$ist eigentlich eine dimensionslose Zahl, die sich auf die magnetische Permeabilität eines Materials relativ zu der eines Vakuums bezieht. Ich glaube, Sie haben es mit der molaren magnetischen Suszeptibilität verwechselt , das heißt$\chi_\text{mol} = \mathcal{M}\chi/\rho$, Wo$\mathcal{M}$ist die Molmasse des Stoffes (Einheiten von$\mathrm{kg/mol}$) Und$\rho$ist die Dichte (Einheiten von$\mathrm{kg/m^3}$).$\chi_\text{mol}$ist die Sache mit Einheiten von$\mathrm{m^3/mol}$, aber es ist$\chi$das tatsächlich in der Magnetschwebeformel vorkommt.

Wenn das geklärt ist, schauen wir uns die Gleichung an. Die linke Seite hat natürlich Einheiten von$\mathrm{T^2/m}$. Wenn Sie die magnetische Konstante auf der rechten Seite angeben, wie es Wikipedia (richtig) tut, haben Sie

$$\biggl[\mu_0\frac{ \rho g }{\chi}\biggr] = [\mu_0]\frac{ [\rho] [g] }{[\chi]} = \biggl(\frac{\mathrm{T\,m}}{\mathrm{A}}\Biggr)\frac{\mathrm{(kg/m^3)(m/s^2)}}{1} = \frac{\mathrm{T\,kg}}{\mathrm{m\,s^2\,A}}$$

Hier verwende ich die Notation, bei der das Setzen von Klammern um eine Größe die Einheiten dieser Größe bezeichnet. Beispielsweise sind die Einheiten der magnetischen Konstante$\mathrm{T\,m/A}$, So$[\mu_0] = \mathrm{T\,m/A}$.

Jetzt können Sie die Einheiten der beiden Seiten der Gleichung gleichsetzen:

$$\frac{\mathrm{T^2}}{\mathrm{m}} = \frac{\mathrm{T\,kg}}{\mathrm{m\,s^2\,A}}$$

was vereinfacht zu

$$\mathrm{T} = \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{s^2\,A}}$$

Wenn diese Äquivalenz also korrekt ist, zeigt sie, dass die ursprüngliche Gleichung dimensional konsistent ist. Und wenn Sie auf der Wikipedia-Seite nach dem Tesla suchen , gibt es ihn tatsächlich$\mathrm{T} = \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{s^2\,A}}$als eine der Definitionen dieser Einheit.

Alternativ können Sie es mit einer Formel aus Magnetfeld und Strom überprüfen, z$\vec{F} = I\mathrm{d}\vec{l}\times\vec{B}$. Die Einheiten davon sind$\mathrm{N = A\,m\times T}$, und da$\mathrm{N} = \mathrm{kg\,m/s^2}$, können Sie einstellen$\mathrm{kg\,m/s^2 = A\,m\,T}$und finde genau das$\mathrm{T} = \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{s^2\,A}}$. Dies ist ein nützlicher Trick, der Sie davon abhält, sich die Definitionen aller SI- (oder anderer) Einheiten zu merken.

Das ist etwas, was mich auch lange beschäftigt hat, aber es muss eigentlich keine Konstante geben (je nach Maßsystem). Sie erwähnen SI, das definitiv ein bevorzugtes System ist, aber ich werde cgs erwähnen, weil es einige der zugrunde liegenden lustigen Dinge an die Oberfläche bringt (insbesondere wegen der Definitionen von statcoulomb ), und an seinen Wurzeln ist es das nicht weit weg von S.I.

Sie schlüsseln die Einheiten in SI für LHS und RHS fast korrekt auf, außer dass diese Formel dimensionslos verwendet$\chi$, also beginne ich mit:

$\frac{T^2}{m} = \frac{kg\cdot}{m^2\cdot s^2}$

Ich werde dies in cgs-Einheiten umschreiben.$T$ist stattdessen$gauss$,$m$wird ersetzt durch$cm$,$kg$wird$g$, Und$s$ist unverändert. Also bekomme ich:

$\frac{gauss^2}{cm} = \frac{g}{cm^2\cdot s^2}$

Gauss ist eine abgeleitete Einheit, die in "grundlegenderen" Einheiten ist$gauss = \frac{g\cdot cm}{statC\cdot s^2}$. Ich fühle mich immer noch nicht wohl dabei, alle Feinheiten des Statcoulomb (statC) zu erklären; da musst du selbst noch etwas genauer hinschauen fürchte ich. Es endet damit, dass es sich um eine Ladungseinheit handelt, hat aber viele andere Implikationen. In jedem Fall diese Definition von einfügen$gauss$gibt:

$\frac{g^2\cdot cm}{statC^2\cdot s^4} = \frac{g}{cm^2\cdot s^2}$

Oder, etwas neu arrangiert und vereinfacht,

$statC = \frac{g^{1/2}\cdot cm^{3/2}}{s}$

Das ist eigentlich die Definition von statC, also ist die Gleichung dimensional konsistent.

Soweit ich weiß, verhält sich das Coulomb von SI überhaupt nicht so, und ich habe keine gute Möglichkeit, die Dimensionskonsistenz in SI zu zeigen, aber ich wäre sehr interessiert, wenn es jemand anderes tun würde.

$\mu_0$fehlt auf der rechten Seite, und zwar$\chi$ist dimensionslos, es ist nur das Verhältnis zwischen$M$Und$H$. So

$$B \frac{dB}{dz} = \mu_0 \frac{ \rho g }{\chi}$$

Der Grund:

• die Einheit von$B^2/\mu_0$ist die Energiedichte ($J/m^3$)
• die Einheit von$[\rho g]$Ist ($N/m^3$)
• als$J=Nm$alles ist gut