Was ist die kovariante Ableitung in der Sprache der Mathematiker?

Der Begriff der kovarianten Ableitung entspricht dem Begriff der Verbindung . Genauer gesagt für jede Verbindung$\nabla$und Vektorfeld$X$, die Operation$\nabla_X$ist eine kovariante Ableitung.

Verbindungen$\nabla$auf dem Tangentialbündel$TM$einer Mannigfaltigkeit werden üblicherweise durch eine Metrik induziert, dies ist die sogenannte Levi-Citiva-Verbindung . Sie wird im Wesentlichen durch die Forderung bestimmt, dass das Skalarprodukt die Produktregel erfüllt

Beachten Sie, dass dies die Verbindung noch nicht vollständig bestimmt, man muss die zusätzliche Anforderung hinzufügen, dass es keine Torsion gibt,

Dies ist eine koordinatenfreie Spezifikation einer Verbindung. Beachten Sie jedoch, dass Verbindungen im Gegensatz zur Lie-Ableitung oder den Ableitungen von Differentialformen, die allein durch die Mannigfaltigkeit definiert sind, zusätzliche Daten darstellen. Auf einer einzigen Mannigfaltigkeit sind viele verschiedene Verbindungen möglich, während die anderen beiden Ableitungsbegriffe einzigartig sind.

Eine kovariante Ableitung auf einer Mannigfaltigkeit ist eine Abbildung, die jedes differenzierbare Tensorfeld vom Typ (n, m) in ein Tensorfeld vom Typ (n, m+1) mit den folgenden Eigenschaften überführt:

1. Linearität
2. Leibnizsche Regel
3. Kommutativität mit Kontraktion
4. Konsistenz mit dem Begriff der Tangentenvektoren

Zusätzlich kann es wünschenswert sein, die Bedingung verschwindender Torsion aufzuerlegen.

Unter Verwendung der abstrakten Indexnotation übersetzen sich die obigen Bedingungen in die folgenden Bedingungen für die kovariante Ableitung$\nabla_a$:

1. $\nabla_a (A T^{a_1 \dots a_n}{}_{b_1 \dots b_m} + B \hat T^{a_1 \dots a_n}{}_{b_1 \dots b_m} ) = A \nabla_a T^{a_1 \dots a_n}{}_{b_1 \dots b_m} + B \nabla_a \hat T^{a_1 \dots a_n}{}_{b_1 \dots b_m}$
2. $\nabla_a (T^{a_1 \dots a_n}{}_{b_1 \dots b_m}\hat T^{\hat a_1 \dots \hat a_n}{}_{\hat b_1 \dots \hat b_m}) = (\nabla_a T^{a_1 \dots a_n}{}_{b_1 \dots b_m}) \hat T^{\hat a_1 \dots \hat a_n}{}_{\hat b_1 \dots \hat b_m} + T^{a_1 \dots a_n}{}_{b_1 \dots b_m} \nabla_a \hat T^{\hat a_1 \dots \hat a_n}{}_{\hat b_1 \dots \hat b_m}$
3. $\nabla_a \big(T^{a_1 \dots c \dots a_n}{}_{b_1 \dots c \dots b_m}\big) = \nabla_a T^{a_1 \dots c \dots a_n}{}_{b_1 \dots c \dots b_m}$
4. Für jeden Tangentenvektor$v^a$und jede ausreichend glatte Skalarfunktion$f$du hast$v(t)=v^a\nabla_a f$

Die Bedingung verschwindender Torsion erfordert, dass die kovariante Ableitung auf ausreichend glatten Skalarfunktionen pendelt$f$,$[\nabla_a,\nabla_b]f=0$.

Wenn Sie den Kommutator der kovarianten Ableitung nehmen, der auf Vektorfelder wirkt, erhalten Sie eine schöne algebraische Interpretation der Torsion$T$und Krümmung$R$:$[\nabla_a,\nabla_b]v^c = T^d{}_{ab}\nabla_d v^c + R^c{}_{dab} v^d$Daher sind Torsionskoeffizienten wie Strukturkonstanten in einer Lie-Algebra und die Krümmung ähnelt einer zentralen Ladung.

In der Allgemeinen Relativitätstheorie muss die Torsion verschwinden. Zusammen mit der Bedingung der metrischen Kompatibilität,$\nabla_a g_{bc}=0$, Wo$g_{ab}$die Metrik ist, diese definiert eindeutig Ihre kovariante Ableitung. Die daraus resultierende Verbindung ist dann die Christoffel-Verbindung.