Was ist die maximale Schallfrequenz in einem bestimmten Medium?

Ich weiß nicht, wie ich Ihre Frage direkt beantworten soll. Was bei hohen (genügenden) Frequenzen passiert, ist, dass das Kontinuumsmodell nicht mehr gültig ist. Wir können also wahrscheinlich abschätzen, dass die maximale Frequenz mit der minimalen Wellenlänge zusammenhängt

$$\lambda_\min >> a$$

Wo$a$ist eine charakteristische Skala im Mikromaßstab. Wenn diese beiden Skalen also weit voneinander entfernt sind, können wir dem Kontinuumsmodell vertrauen.

Unten sehen Sie die Ableitung der Dispersionskurven für einen monoatomaren Kristall unter der Annahme, dass die Wechselwirkung mit ersten Nachbarn erfolgt und durch lineare Federn vermittelt wird. Gemäß diesem Modell gibt es eine maximale Grenze für Frequenzen, die sich durch dieses Material ausbreiten, wenn die beiden Längenskalen gleich sind.

Beispiel: Einfaches Masse-Feder-Gitter

Betrachten wir das im folgenden Schema dargestellte System

Einfaches Masse-Feder-Gitter.

Die Kraft im Flugzeug$s$verursacht durch die Verschiebung des Flugzeugs$s+p$ist proportional zur Differenz$u_{s+p}-u_s$der Verschiebungen. Wir werden also nur Nächste-Nachbar-Wechselwirkungen betrachten$p=\pm 1$. Die Gesamtkraft auf$s$kommt aus Flugzeugen$s=\pm 1$:

$$\begin{equation} F_s = c(u_{s+1}-u_s)+ c(u_{s-1}-u_s). \end{equation}$$ Die Konstante$c$ist die Steifigkeit zwischen nächstbenachbarten Ebenen und unterscheidet sich für Longitudinal- und Transversalwellen.

Die Bewegungsgleichung der Ebene$s$Ist

$$m \ddot{u} = c(u_{s+1} + u_{s-1} -2 u_s),$$ unter Annahme einer harmonischen Zeitabhängigkeit$\exp(-i\omega t)$ $$\begin{equation} -m\omega^2 u_s = c(u_{s+1} + u_{s-1} - 2u_s) \enspace . \tag{1} \end{equation}$$

Unter Verwendung des Satzes von Bloch

$$u_{s\pm 1} = u_s e^{\pm i ka}.$$ Also (1) ist jetzt $$-m \omega^2 u_s = c (u_s \exp(ika) + u_s \exp(-ika) - 2u_s)$$ und stornieren$u_s$von beiden Seiten haben wir $$\omega^2 m = -c[ \exp(ika) + \exp(-ika) - 2 ] \enspace .$$

Verwendung der Identität$2\cos ka = \exp(ika) + \exp(-ika)$, und nehmen$\Omega^2 = \omega^2/\omega_0^2 = \omega^2 m/c$, haben wir die Dispersionsrelation

$$\begin{equation} \Omega^2 = 2 (1-\cos ka) \enspace . \tag{2} \end{equation}$$

Die Grenze der ersten Brillouin-Zone liegt bei$k=\pm \pi/a$. Wir zeigen aus (2) , dass die Steigung von$\Omega$gegen$ka$an der Zonengrenze Null ist

$$\frac{d\Omega^2}{d\, ka} = 2\sin ka=0$$ bei$ka=\pm \pi$,$\sin ka = 0$.

Durch eine trigonometrische Identität (2) kann geschrieben werden als

$$\begin{equation} \Omega^2 = 4 \sin^2 \frac{1}{2}ka, \qquad \Omega = 2\left\vert \sin \frac{1}{2} ka\right\vert \enspace . \end{equation}$$

Handlung des$\Omega$gegen$ka$. Die Region von$ka<<1$oder$\lambda/a>>1$entspricht der Kontinuumsnäherung; Wo$\Omega$ist direkt proportional zu$ka$(und ist zwischen den gestrichelten Linien eingeschlossen). Dazwischen liegt die Erste Brillouin-Zone$-1$Und$1$.