Was ist die physikalische Bedeutung eines elektronischen Systems, das sich adiabatisch durch einen geschlossenen Weg entwickelt?

Ich bin mir nicht sicher, ob ich Ihnen bezüglich der Weyl-Fermionen helfen kann. Aber Ihre Frage scheint sich eher damit zu befassen, was eine geometrische Phase ist.

Paralleltransport und geometrische Phase

Vielleicht ist es intuitiver, zuerst eine Parallele zwischen geometrischer Phase und parallelem Transport zu ziehen. Betrachten Sie, wie im Bild dieses Wikipedia-Artikels gezeigt , eine Kugel$S$mit einem Vektor$\textbf{e}$tangential zu seiner Oberfläche liegen. Im üblichen sphärischen Koordinatensystem$\{\textbf{u}_r,\textbf{u}_\theta,\textbf{u}_\phi\}$sagen wir das erstmal:

$$\textbf{e}=-\textbf{u}_\theta$$ die einem blauen Pfeil auf dem Bild entsprechen.

Nehmen wir nun an, wir führen einen parallelen Transport dieses Vektors entlang eines Pfades durch$C$die auf der Kontur eines Achtels der Kugel liegt (wie auf dem Bild gezeigt), was ein geschlossener Pfad ist . Parallel bedeutet hier, dass der Vektor seine Richtung entlang des Bewegungspfades beibehält.

Sie sehen, dass die Richtungen des Vektors vor und nach dem Transport unterschiedlich sind (vergleiche blaue und rote Pfeile). Genauer gesagt hat sich der Vektor wie folgt transformiert:

$$\textbf{e}=-\textbf{u}_\theta\;\rightarrow\;\textbf{e}'=\textbf{u}_\phi\quad\text{i.e.}\quad\textbf{e}'=e^{-\frac{\mathrm{i}\pi}{2}}\textbf{e}$$ die entsprechen $-\pi/2$Drehung. Der Grund, warum es so ist $\pi/2$(vergiss das Signe) ist das die Kontur $C$verkörpert ein $4\pi/8=\pi/2$ fester Winkel . Das $\pi/2$nennen wir geometrische Phase , da sie nur von der Wahl des Weges abhängt $C$und nicht auf die Zeit, die für die Durchführung des Transports benötigt wird $C$. Genauer gesagt spiegelt diese Phase die Topologie von wider $S$, nämlich hier seine Krümmung.

Quantenmechanik und Berry-Phase

Jetzt gibt es ein Quantenanalog einer solchen Phase, die als Berry-Phase bezeichnet wird . Das Prinzip ist im Grunde dasselbe, aber hier anstelle eines Vektors$\textbf{e}$Sie haben einen anfänglichen Quanteneigenzustand$\vert\phi_\ell\rangle$eines Hamiltonianers$\mathcal{H}(\mathbf{\Gamma}(t))$.

Hier$\mathbf{\Gamma}(t)$sind einige langsame zeitabhängige Kopplungsparameter. Der Vektor$\mathbf{\Gamma}$lebt in einem Parameterraum$\mathcal{M}$die die Rolle der Kugel spielen wird$S$. Der Grund warum$\mathbf{\Gamma}$als langsam bezeichnet wird, ist, dass es die Adiabatizität der Zeitentwicklung des Quantenzustands garantiert, nämlich dass:

$$\forall t>0,\,\vert\Psi(t)\rangle\sim\vert\phi_\ell(\mathbf{\Gamma}(t))\rangle$$ Eine solche Bedingung ist analog zum Kippen der Richtung des Vektors $\textbf{e}$konstant beim Paralleltransport.

Wenn$\mathbf{\Gamma}$ist ein$T$-periodische Funktion der Zeit, dies bedeutet, dass man einen geschlossenen Weg gehen kann$C: \mathbf{\Gamma}(0)\rightarrow\mathbf{\Gamma}(T)$im Parameterraum$\mathcal{M}$.

Auf diese Weise kann man eine Beerenphase drucken$\varphi_B$zum Quantenzustand:

$$\forall t>0,\,\vert\Psi(t)\rangle\sim e^{\mathrm{i}\varphi_B}\vert\phi_\ell(\mathbf{\Gamma}(0))\rangle$$ mit der interessanten Funktion, dass $\varphi_B$hängt nicht davon ab $T$. Einzelheiten zu den Berechnungen finden Sie in dieser PSE-Frage .