Was macht etwas Mathematik?

Beide Definitionen sind veraltet. Wie Husserl schon 1901 formulierte:

„ Nur wenn man die moderne Wissenschaft der Mathematik, insbesondere der formalen Mathematik, nicht kennt und sie an Maßstäben von Euklid und Adam Riese misst, kann man in dem verbreiteten Vorurteil stecken bleiben, dass das Wesen der Mathematik in Zahl und Quantität liege “.

In der Antike drehte sich die Mathematik fast ausschließlich um Zahlen und einfache Formen, im Laufe des Mittelalters und des 17. Jahrhunderts kamen Funktionen und Gleichungen hinzu. Im 19. und besonders im 20. Jahrhundert erfuhr die Mathematik einen weiteren Wandel, so dass ihr Inhalt ausschließlich durch Mengen repräsentiert wurde, auch Relationen und Operationen auf Mengen sind Mengen. In den 1950er Jahren wurden abstrakte Strukturen par excellence, mathematische Kategorien, eingeführt und in verschiedenen Teilgebieten und Anwendungen eingesetzt.

Vielleicht ist es besser, nicht auf das zu schauen, was sich geändert hat, sondern auf das, was unverändert geblieben ist. Hier ist eine Zusammenfassung von MacLane , einem Begründer der Kategorientheorie:

„ Mathematik ist das Studium jener Strukturen, die bei unterschiedlichen Verwendungen, aber mit den gleichen formalen Eigenschaften entstehen – und Mathematiker zielen darauf ab, dieses Studium durchzuführen, indem sie Beweise verwenden. Diese Ansicht erklärt im Gegensatz zum Platonismus auch die Art und Weise, wie Mathematik in anderen verwendet wird Wissenschaften “.

Um die Begriffe von Aristoteles zu verwenden, ist Mathematik also eine Untersuchung von Formen, die von Materie abstrahiert sind. Das macht es so breit anwendbar, dass die algebraische Struktur einer Gruppe in fundamentalen Symmetrien der Natur und einzelner Kristalle, lebender Organismen und Kunstwerke verkörpert ist. Form kann als Zahlen, Formen, Symbole, Mengen, Kategorien und noch unbekannte höhere Abstraktionen ausgedrückt werden.

Da die abstrakte Form nicht der Beobachtung oder dem Experiment unterliegt, das nur das Konkrete bezeugen kann, hat die Mathematik einen anderen Wahrheitsstandard geprägt, der ihr Eckpfeiler und charakteristisches Merkmal ist - der Beweis. In seiner idealen Grenze nimmt es die Form des deduktiven Beweises in axiomatischen Systemen an, in denen alle Ergebnisse symbolisch aus wenigen expliziten und formal ausgedrückten Annahmen abgeleitet werden können. Obwohl seine Anfänge bis ins antike Griechenland zurückreichen, wurde dieses Ideal erst im 20. Jahrhundert vollständig formuliert. Es bedeutet nicht, dass Beweise als formale Ableitungen ausgedrückt werden oder überhaupt ausgedrückt werden sollten, eine bloße Möglichkeit eines solchen Ausdrucks reicht aus. Es bedeutet auch nicht, dass die Mathematik frei von Experimenten und heuristischem Denken ist, aber ihre Ergebnisse sind vorläufig, und Mathematiker sind immer bestrebt, sie am Ende durch Beweise zu validieren.

Das Vertrauen auf Beweise als Maßstab der Wahrheit erklärt ein weiteres ihrer charakteristischen Merkmale, die Forderung nach Präzision von Definitionen und Argumenten jenseits derjenigen der natürlichen Sprache oder sogar der Wissenschaft, und die mathematische Strenge. Die Strenge stellt sicher, dass die Mathematik logisch transparent ist, die Genauigkeit und die Sicherheit der Schlussfolgerungen genau die gleichen sind wie die der Annahmen, nichts wird in der Mitte hinzugefügt. Es stellt auch sicher, dass es sehr detailempfindlich ist, kein noch so kleiner Widerspruch aufgrund des Explosionsgesetzes toleriert wird und daher sehr gut prüfbar ist. Ein Artikel von Jaffe und Quinn aus dem Jahr 1993 über die Natur der Mathematik, ihren gegenwärtigen Stand und ihre Beziehung zur Physik sowie die Rolle von Beweis und Strenge darin entzündete eine Debatte, die einen großartigen Einblick in moderne Perspektiven bietet. Sehendie Antworten mehrerer prominenter Mathematiker .

Dass die Mathematik ohne den Nutzen der Sinne Zugang zu reiner Form hat, war schon immer philosophisch mysteriös. Sie inspirierte Platons Theorie der idealen Formen, Kants Theorie des synthetischen Apriori und Husserls Konzeption der formalen Wissenschaften. Kant gibt einen tiefen, wenn auch etwas veralteten Einblick, wie Mathematik sein kann, was sie ist:

„ Ein neues Licht brach auf die erste Person, die das gleichschenklige Dreieck demonstrierte (ob er „Thales“ hieß oder einen anderen Namen hatte). sogar ihren bloßen Begriff nachzeichnen und gleichsam aus den Eigenschaften der Figur ablesen, sondern daß er diese aus dem, was er selbst in den Gegenstand hineingedacht und (durch Konstruktion) nach apriorischen Begriffen dargeboten hat, erzeugen mußte, und dass er, um etwas a priori sicher zu wissen, dem Ding nichts zuschreiben müsse als das, was notwendigerweise aus dem folgte, was er selbst seinem Begriff gemäß hineingelegt hatte .

Und da jede Definition eine Negation ist, wie Spinoza es ausdrückte, schließen wir mit Husserls Beschreibung der Aufgaben von Mathematik und Philosophie:

„ Die Konstruktion von Theorien, die streng methodische Lösung aller formalen Probleme wird immer die Heimatdomäne des Mathematikers bleiben .... Wenn die Entwicklung aller wahren Theorien in das Gebiet des Mathematikers fällt, was bleibt dann den Philosophen übrig? Hier müssen wir man beachte, dass der Mathematiker nicht wirklich der reine Theoretiker ist, sondern nur der geniale Techniker, sozusagen der Konstrukteur, der seine Theorie nur aus formalen Zusammenhängen heraus wie ein technisches Kunstwerk aufbaut ... Mathematiker konstruiert Theorien von Zahlen, Mengen, Syllogismen, Mannigfaltigkeiten, ohne endgültige Einsicht in das Wesen der Theorie überhaupt und das der Begriffe und Gesetze, die ihre Bedingungen sind ... Der Philosoph fragt nach dem Wesen der Theorie und was Theorie als solche möglich macht ".

Aus moderner Sicht gilt die Mathematik als die Wissenschaft der formalen Strukturen. Einfache Beispiele für solche Strukturen sind topologische Räume, Gruppen, Vektorräume, differenzierbare Mannigfaltigkeiten.

Eine gute Übersicht über alle Felder aktiver mathematischer Forschung lässt sich in der Fächerklassifikation Mathematik ablesen, siehe http://www.ams.org/msc/msc2010.html

Zahlentheorie und Geometrie sind zwei dieser Bereiche. Beide sind sehr alt, aber beide haben sich sehr weit vom Rechnen mit Zahlen oder vom Studium ebener Dreiecke entfernt.

Alle mathematischen Theoreme wurden bewiesen, basierend auf eindeutigen Definitionen und Axiomen. Andernfalls wird eine mathematische Aussage als Vermutung betrachtet - man wartet entweder auf einen Beweis oder ein Gegenbeispiel.

Aus intuitionistischer Sicht ist die Mathematik der reduzierte grundlegende Speicher menschlicher Intuitionen, die ihres tatsächlichen Realitätsbezugs beraubt sind. (Ich sehe dies als die klarere Bedeutung hinter Brouwers etwas abstruser Analyse der Mathematik als Erfahrung der einzigen Intuition der Zeit. Ich denke, er ist zu weit gegangen.)

Wenn etwas Repräsentationen, aber keine Instanzen hat, ist es Mathematik. Es gibt Fälle von Buchhaltern, Hasen oder Liebe... Oder von Quarks, wenn auch nur in Bezug auf ein beobachtetes Verhaltensmuster. Bella ist eine Instanz und keine Repräsentation eines Vampirs: Sie „existiert“ auf andere Weise in einer Kripkeesken „Welt“.

Es gibt kein Beispiel für eine gerade Linie – Sie können keine ziehen, Sie könnten nicht sehen, ob Sie es getan haben usw., selbst in gewöhnlichen Fiktionen. Es gibt kein Beispiel für eine Zahl – die Sammlung von fünf Dingen ist nicht die Zahl fünf, die sich nicht um die Dinge kümmert, die sie aufzählt. Es gibt keine Instanz aller Permutationen einer Sammlung, es gibt nur physische Gruppierungen, die die einzelnen Permutationen darstellen könnten – andernfalls könnten die Permutationen der Positionen von Atomen und die Permutationen der Wurzeln von Polynomen in der nicht wirklich gleich sein Art und Weise, wie sie von der Polya-Theorie bzw. der Galois-Theorie behandelt werden. Es gibt nur Darstellungen dieser Dinge.

Geometrie zum Beispiel ist Mathematik, weil sie ihren Ursprung in unseren funktionalen Intuitionen über den Raum hat, aber sie verfeinert sie bis zu dem Punkt, an dem wir wissen, dass die Linien und Figuren, die wir zeichnen, nicht das sind, worüber wir sprechen. Wir sprechen von etwas, das diese nützlichen Erfahrungen zu etwas jenseits des Realen idealisiert, das keine Spur von der Realität hinterlässt. Niemand kann die mythische „gerade Linie“ ziehen, aber wir alle beziehen uns auf sie aus unserer normalen Sichtweise räumlicher Beziehungen, indem wir von dem einen oder anderen Punkt aus blicken, „abgelassene“ Strahlen direkt in ein Fenster fallen sehen usw.

Wenn wir eine Sammlung von fünf Dingen haben, sagen wir Dinge darüber, wie sich diese Sammlung mit anderen solchen Sammlungen kombinieren lässt, die nichts mit den eigentlichen Dingen zu tun haben (und aus diesem Grund falsch sein könnten – kombinieren Sie drei Füchse und vier Hasen und schließlich , du hast höchstens vier Tiere übrig.)

Mathematik ist also die Sammlung gemeinsamer menschlicher Intuitionen, die von allen Instanzen losgelöst werden können und dennoch als abstraktes Muster für uns Bedeutung behalten.

Als solche definiert liegt meines Erachtens die Mathematik an der Schnittstelle zwischen rationaler Psychologie, Ästhetik und Logik. Wir wissen, dass etwas das Kriterium erfüllt, eine Intuition zu repräsentieren, wenn es in einer ausreichend breiten Fallverteilung die Reaktion „natürlich“ oder seine stärkere Version „aha!“ auslöst, Mathematik hat also eine ästhetische Grundlage.

Aber welche Arten solcher Entdeckungen ohne Ursache und Instanzen Bedeutung behalten, ist eine psychologische Tatsache, keine Tatsache äußerer Natur, sodass die Mathematik eigentlich ein Teil der rationalen Psychologie ist.

Und wir haben sehr früh festgestellt, dass diese Art der Kombination von absolut reinen Intuitionen die einzigen Dinge sind, die wir scheinbar wirklich getreu in unserer Logik verarbeiten können, ohne übermäßige Komplexität einzuführen. Wie also diese Ideen kombiniert und die Kombinationen kommuniziert werden können, wird zur eigentlichen Grundlage der Logik.

Mathe ist ein Wort. Als solche unterliegt sie den Grenzen der Linguistik. Eine solche Grenze: Es ist nahezu unmöglich, alle dazu zu bringen, sich auf ihre Bedeutung zu einigen. Wenn ich die Anfangszeile der Wikipedia-Seite über „ Definitions of Mathematics “ zitieren darf,

Die Definitionen der Mathematik sind sehr unterschiedlich und verschiedene Denkschulen, insbesondere in der Philosophie, haben radikal unterschiedliche und kontroverse Darstellungen vorgeschlagen.

Ja, die Frage, die Sie gestellt haben, ist so schwierig, dass ihr nicht nur ein Abschnitt auf der Mathematikseite von Wikipedia gewidmet ist, sondern eine ganze Seite dafür.

Ich persönlich finde, dass die Dinge, die ich Mathematik nenne, alle eine gemeinsame Wurzelstruktur haben: Modelltheorie und Beweistheorie. Die Modelltheorie untersucht die Semantik mathematischer Modelle, während die Beweistheorie die Syntax mathematischer Beweise untersucht. Ich habe im Allgemeinen festgestellt, dass Dinge, die ich Mathematik nenne, auf eine oder beide dieser Wurzeln hinauslaufen, während Dinge, die ich Nicht-Mathematik nenne, dies nicht tun.

Was ist Kunst? Kunst ist das, was ausgebildete Künstler tun, hat der Kunstkritiker Danto offenbar allen Ernstes gesagt.

Im Anschluss daran und anekdotisch antwortete der Physiker Isham auf die Frage, was gute Mathematik sei, was gute Mathematiker tun.

Kreisförmig?

Stimmt - aber irgendwie stimmig

Die mathematische Definition von Mathematik ist die Menge aller möglichen selbstkonsistenten Strukturen.

(Victoria Gould)

Ich glaube nicht, dass es eine richtige Definition von "Mathematik" gibt. Einige würden sagen oder gesagt haben, es sei das Studium von Zahlen und Raum (Algebra und Geometrie).

Führt "Mathematik" einfach Operationen mit einem bestimmten Satz von Axiomen im Hinterkopf aus?

Nun, ich würde ja sagen, obwohl das als Definition vielleicht nicht sehr aufschlussreich ist. Diese Sichtweise wird Formalismus genannt . Die Idee war Teil von Hilberts Programm.

Ist "Mathematik" etwas, das Zahlen beinhaltet?

Ja, aber nicht ausschließlich. Betrachten Sie jede Art von abstrakter Algebra: Gruppentheorie, Ringtheorie, lineare Algebra, Kategorientheorie. Zahlen sind in der Tat wichtig, aber die abstrakte Algebra versucht, Konzepte, die wir von Zahlen kennen, auf andere Objekte zu verallgemeinern. Ganz zu schweigen davon: Geometrie hat per se auch nichts mit Zahlen zu tun. Der Begriff „Zahl“ ist ohnehin fragwürdig; es existiert hauptsächlich aus historischen Gründen. Es ist normalerweise ein Synonym für natürliche Zahl, ganze Zahl, rationale Zahl, reelle Zahl, komplexe Zahl oder vielleicht sogar surreale Zahl. Es besteht jedoch keine Einigung darüber, was eine Zahl wirklich ist.

Was ist mit mathematischer Logik?

Mathematische Logik ist ein Bereich der Mathematik und Mathematik ist ein Bereich der Logik, gemäß dem Logikismus von Russell und Whitehead . Ich würde zustimmen. Ich würde sogar sagen, dass Logik und Mathematik dasselbe sind, außer dass die meiste Mathematik, die durchgeführt wird, sehr "hochrangige" Logik ist.

Natürlich kann Mathe extrem rigoros (à la Beweis-Assistent-rigoros), rigoros und weniger rigoros (mit Bildern oder überzeugenden Beispielen) gemacht werden. Ob Sie ein informelles Argument "Mathe" nennen, bleibt wahrscheinlich Ihnen überlassen.

Mathematik ist das Studium präziser und nützlicher Gedanken. Wenn Sie einen Gedanken haben, den Sie auf irgendeine Weise vollständig präzisieren können (vielleicht indem Sie ihn in einer logischen Sprache axiomatisieren) und der in einem wohldefinierten Sinne nützlich ist, können Sie ihn ziemlich sicher Mathematik nennen.

Mathematische Logik ist die Sammlung präziser Gedanken über präzise Gedanken, Logik ist die Sammlung präziser Gedanken über Gedanken im Allgemeinen, Analyse ist die Sammlung präziser Gedanken über die reellen Zahlen und ihre Teilmengen und Abbildungen, Kategorientheorie ist die Sammlung präziser Gedanken über Sammlungen von Objekten und strukturerhaltenden Abbildungen zwischen ihnen, Mengenlehre ist die Sammlung präziser Gedanken über unsere Fähigkeit, Objekte zusammen zu sammeln und Prädikate auf sie anzuwenden ...

Der Prozess, die Gedanken präzise und völlig eindeutig (in einem sinnvollen Sinne) zu machen, ist wirklich der Punkt, an dem sie zur „Mathematik“ werden. All Ihre Annahmen zu axiomatisieren und die Axiome in einer allgemein anerkannten logischen Sprache zu codieren, ist oft der einfachste Weg, dies zu tun, wobei „algebraische“ Eigenschaften aus der Definition von Symbolen für binäre/unendliche Operationen an einzelnen „Elementen“ und ihrer anschließenden Manipulation hervorgehen , „topologische“ Eigenschaften ergeben sich aus der Definition von Symbolen für „Teilmengen“ und deren Schnittmengen/Vereinigungen/Sequenzen, „einheitliche“ Eigenschaften ergeben sich aus der Definition von Überdeckungen („Mengen von Teilmengen“) und der Verfeinerung für Ihre Struktur, und so weiter und so weiter her.

Wenn die Gedanken nützlich sind, aber in einem wesentlichen Sinn nicht ganz präzise gemacht werden können, fallen sie aus dem Bereich der Mathematik. Wenn die Gedanken präzise und nutzlos sind, interessiert es niemanden. Dies schien mir immer die bestimmende Natur der Mathematik zu sein.

Mathematik ist das Studium gemeinsamer Eigenschaften von Dingen, die unterschiedlichen physikalischen Inhalt haben. Das ist das Studium von Eigenschaften, die physikalisch nicht verwandten Dingen gemeinsam sind.

Alle Dreiecke haben gemeinsame Eigenschaften, sei es Atomdreieck oder Dachdreieck oder Sternendreieck. Alle Sets mit 6 Gegenständen haben gemeinsame Eigenschaften, seien es 6 Äpfel, 6 Autos oder 6 Galaxien.

Die Menschen haben dies bemerkt und beschlossen, diese Eigenschaften getrennt von den physischen Dingen zu untersuchen.

Kurze Antwort

„Was ist mathematisch“ ist eines der Hauptanliegen der Philosophie der Mathematik, und abhängig von den eigenen Überzeugungen über und in der Philosophie, insbesondere der eigenen Metaphysik , gibt es sehr unterschiedliche Ansichten darüber, was es bedeutet, mathematisch zu sein . Ein Ansatz zur Definition von „mathematisch“ (außer als Synonym für „präzise“) könnte unter zwei Ansätze fallen, einen eine allgemeine, natürlichsprachliche Definition, die der Prototypentheorie entsprechen könnte, und einen, der eher technischen Fragen der Absicht folgt , die sich auf Fragen von beziehen Notwendigkeit und Hinlänglichkeit .

Eine allgemeine Antwort auf „mathematisch“ würde der Definition des gesunden Menschenverstands folgen, die Begriffe wie Quantität, Qualitäten, Beziehungen, Formen, Operationen, Wahrheit und Richtung hervorruft und sich auf einige gängige mathematische Systeme wie Arithmetik, Algebren, Vektoren, und Geometrien. Die technische Antwort darauf , was Mathematik ist und woher sie kommt, würde eher den verschiedenen Schulen in der Philosophie der Mathematik entsprechen . Diese Antworten sind weitaus technischer, beinhalten aber Ideen wie Reduktion auf Logik, formale Systeme, Intuition, Empirie, Abstraktion, Iteration und Semantik. Die erstere Klasse der Charakterisierung ist für die meisten Menschen verständlich, während die letztere Klasse die technische Philosophie ist, die sich insbesondere auf den Jargon von beziehtErkenntnistheorie und Ontologie .

Wenn die Gruppe gebildeter Erwachsener darüber abstimmen würde, was „mathematisch“ ist, wäre die erstgenannte Klasse die beliebteste, aber ob man das ansprechend findet oder nicht, hängt von den eigenen Ansichten über den Gebrauch der gewöhnlichen Sprache in der Philosophie und der Kultiviertheit ab des eigenen philosophischen Jargons . Es sollte gesagt werden, dass jeder Anspruch auf Gewissheit darüber, was „mathematisch“ ist, mit jedem pluralistischen und fallibilistischen (IEP) erkenntnistheoretischen Ansatz in Konflikt geraten würde . Die Behauptung, Pythagoräer hätten Konkurrenten von einer Klippe geworfen (Reddit) , ist wahrscheinlich apokryphisch , aber sie ist sicherlich glaubwürdig.

Lange Antwort

Die Politik der Mathematik

Jede Antwort auf das , was mathematisch ist , ist wie ein intellektueller Fingerabdruck . Nehmen Sie zum Beispiel die mathematische Philosophie von Wittgenstein , sie unterscheidet sich bemerkenswert von den Behauptungen über „mathematisch“, die von Aristoteles gemacht wurden (was der Tatsache Rechnung trägt, dass mathema, „μάθημα“ in griechischen Sprachen etwas viel Umfassenderes ist als das, was wir Mathematik nennen).

Um zu demonstrieren, wie sehr die Definition von „mathematisch“ sehr parteiisch und divergierend ist, betrachten wir die Charakterisierung des „mathematischen“ aus empirischer Perspektive und was die SEP zu sagen hat:

Die allgemeine philosophische und wissenschaftliche Sichtweise des 19. Jahrhunderts tendierte zum Empirischen: Platonistische Aspekte rationalistischer Theorien der Mathematik verloren rasch an Unterstützung. Besonders die einst hochgelobte Fähigkeit zur rationalen Ideenfindung wurde mit Argwohn betrachtet. So wurde es zur Herausforderung, eine von platonistischen Elementen freie philosophische Theorie der Mathematik zu formulieren. In den ersten Jahrzehnten des zwanzigsten Jahrhunderts wurden drei nicht-platonistische Darstellungen der Mathematik entwickelt: Logikismus, Formalismus und Intuitionismus. Zu Beginn des zwanzigsten Jahrhunderts tauchte auch ein viertes Programm auf: der Prädikativismus. Bedingt durch historische Umstände wurde sein wahres Potenzial erst in den 1960er Jahren erschlossen.

Wenn man die Position vertritt, dass mathematisches Denken (was auch immer es sein mag) auf psychologische Theorie reduziert wird, wie sie seit dem Psychologismus des 19 .

Zu den durch induktives Denken erlernten Naturgesetzen gehören die Gesetze der Geometrie und der Arithmetik. Es muss betont werden, dass Mill in keinem Fall der Meinung ist, dass die letztendlich induktive Natur der Wissenschaften – ob physikalisch, mathematisch oder sozial – die deduktive Organisation und Praxis der Wissenschaft ausschließt (Ryan 1987: 3–20). Offensichtlich arbeiten wir viele Schlüsse deduktiv durch – und das wird nirgendwo deutlicher als in der Mathematik. Mills Behauptung ist einfach, dass jede Prämisse oder nonverbale Schlussfolgerung nur so stark sein kann wie die induktive Begründung, die sie stützt.

Dieser Ansatz, „mathematisch“ zu verstehen, ist vielleicht nicht so populär wie der von Husserl, er lehnt transzendentalistische Vorstellungen ab, die von Kant abgeleitet sind und mit denen ein eliminativer Materialist einverstanden wäre. Linnebo hat in seiner Philosophie der Mathematik ein Kapitel über zeitgenössische empirische Interpretationen von „mathematisch“.

Empirische, intuitive und unorthodoxe Berichte

Linnebo spricht auf Seite 88 einen Punkt über die Beziehung zwischen dem Empirismus von Locke und dem mathematischen Denken an:

[D]ie Idee, dass mathematisches Wissen a priori synthetisch ist, kollidiert mit dem empiristischen Glauben, dass alles substantielle Wissen empirisch ist.

Er fährt fort, die Beiträge von Mill und Quine zu behandeln.

In Kapitel 8: Mathematischer Intuitionismus schlägt er vor, dass der Intuitionalismus empirischer Natur ist, weist aber die Exzesse des Empirismus auf Seite 116 zurück:

Wir werden uns nun einige Berichte über mathematisches Wissen genauer ansehen, die es nicht an empirisches Wissen anpassen ... [da] irgendeine Form mathematischer Intuition Beweise für bestimmte mathematische Wahrheiten liefert.

Ein unorthodoxer Ansatz zur Charakterisierung von Mathematik stammt von George Lakoff und Rafael E. Núñez in ihrem Buch „ Where Mathematics Comes From“ . Grob gesagt lautet die Antwort auf den Titel des Buches psychologische Prozesse des Geistes, die als konzeptionelle Metaphern verstanden werden können . Ein Beispiel, das sie in ihrem Buch geben, ist die Beziehung zwischen der grundlegenden sprachlichen Fähigkeit des Geistes, die Metapher der Eindämmung zu kategorisieren und zu verwenden, als Verständnis der intuitiven Mengen der naiven Mengenlehre . Es ist eine offensichtliche empirische Wahrheit, dass Menschen Container verstehen, lange bevor sie formale Mechanismen für Erweiterungsdefinitionen entwickeln . Natürlich, während die Idee, dass das Gehirn stark mit dem Geist verbunden ist, durchneuronale Korrelationen des Bewusstseins , gibt es in der mathematischen Philosophie immer noch viel zu tun (was meine Voreingenommenheit offenbart).

Zusammenfassung und Rat

Wenn Sie verstehen wollen, was „mathematisch“ ist und was nicht, wie in den meisten Bereichen, wenn Sie versuchen, „Wissenschaft“ zu definieren, kann es zu Reibungen bei der Abgrenzung und Definition kommen. Wenn Sie verstehen möchten, was „mathematisch“ ist und Sie keine Erfahrung in Mathematik im Grundstudium haben, kann es hilfreich sein, wenn Sie ein wenig nicht-euklidische Geometrie , abstrakte Algebra und formale Mengenlehre lernen, bevor Sie sich ins sehr Abstrakte stürzen und technische Begriffe der mathematischen Philosophie, die eine sehr faszinierende Explosion von Ideen hat, seit Frege Gottlob die Grundlage für die heute in der mathematischen Logik verwendeten Formalismen erfunden hat . Zumindest, wenn Sie Ihre eigenen Überzeugungen entwickeln, werden Sie in der Lage sein, einige der grundlegenden Theorien zu verstehen, die den technischen Begriffen der Mathematik zugrunde liegen, und beginnen zu erkennen, wie Thomas Kuhn es in Bezug auf die Naturwissenschaften getan hat , dass Mathematik von Mathematikern betrieben wird, von denen viele dafür bezahlt werden, ihre Überzeugungen zu verteidigen oder einen professionellen Ruf zu haben (ganz zu schweigen von Gefühlen) auf dem Spiel, wenn sie mit Philosophien hausieren gehen, die die zeitgenössische Wissenschaft weitgehend ablehnen und aufgrund der praktischen Ergebnisse überzeugen , auf dem fahrenden Zug zu bleiben .

Unter Mathematikern und Philosophen gibt es unterschiedliche Ansichten über den genauen Umfang und die Definition von Mathematik . – Wiki

STEM ist ein Akronym, das sich auf die akademischen Disziplinen Naturwissenschaften [Anmerkung 1] , Technologie, Ingenieurwesen und Mathematik bezieht. – Wiki

Wenn 'es' besser in die Mathematik passt als in die anderen drei, dann ist es (nur grundlegende, akademische) Mathematik.

Die Mathematik selbst ist nur eine besondere Formation des Mathematischen.

Das Wort "mathematisch" leitet sich in seiner Entstehung vom griechischen Ausdruck ta mathemata ab , was soviel bedeutet wie "Lernbares" und damit zugleich "Lernbares"; manthanein bedeutet lernen, die Lehre erarbeiten , und dies im doppelten Sinne.

Die Mathematima sind die Dinge, insofern wir sie als das erkennen, wofür wir sie schon vorher kennen, den Leib als das Leibliche, das Pflanzenhafte der Pflanze, das Tierhafte des Tieres, die Dingheit des Dinges , usw. Dieses echte Lernen ist also ein höchst eigenartiges Nehmen, ein Nehmen, bei dem der Nehmende nur das nimmt, was man im Grunde schon hat. Diesem Lernen entspricht das Lehren. [...] Wenn der Schüler nur etwas übernimmt, was angeboten wird, lernt er nicht. Er lernt erst, wenn er das, was er nimmt, als etwas erfährt, das er selbst wirklich schon hat.

Das Mathematische ist also die Grundvoraussetzung der Erkenntnis der Dinge

Heidegger, Martin. „Modern Science, Metaphysics, and Mathematics“ in Grundlegende Schriften , hrsg. Krell. New York: HarperCollins, 2008. 271-305.

Dem Mathematischen geht es darum, durch Lehren und Lernen ("im ursprünglichen Sinne") die Erkenntnis der Dinge zu ermöglichen.